사용자:Kobmuiv/리 군의 표현

수학에서 리 군의 표현은 선형 공간에서 리 군의 선형 군 작용이다. 마찬가지로, 정의역이 리 군이고 공역은 선형 공간에서 역원이 존재하는 연산자들이 이루는 군인 매끄러운 준동형사상이다. 리 군의 표현은 연속적 대칭 연구에서 중요한 역할을 한다. 이러한 표현에 대해 많은 것이 알려져 있으며, 연구의 기본 도구는 리 대수의 해당 '무한소' 표현을 사용하는 것이다.

유한 차원 표현

표현

군의 복소 표현은 유한 차원 복소 선형 공간에 대한 군 작용이다. $n$ 차원 복소 선형 공간 $V$ 에 작용하는 리 군 $G$ 의 표현은 매끄러운 군 준동형사상

\Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)

이 된다. 여기서 $\operatorname {GL} (V)$ 는 $V\rightarrow V$ 인 모든 가역 선형 변환들의 합성 연산이 이루는 일반 선형 군이다. 스칼라 체가 동일한 모든 $n$ 차원 선형 공간은 동형이므로 군 $\operatorname {GL} (V)$ 은 가역적 복소 $n\times n$ 행렬 군 $\operatorname {GL} (n,\mathbb {C} )$ 으로 식별될 수 있다. 사상 $\Pi$ 의 매끄러움은 연속적인 준동형사상은 자동으로 매끄러워진다는 점에서 볼 수 있다.^[1]

대안적으,로, 선형 공간 $V$ 에 대한 $G$ 의 선형 군 작용으로 리 군 $G$ 의 표현을 설명할 수 있다. 표기법상, 군 원소 $g\in G$ 가 벡터 $v\in V$ 에 작용하는 것을 $\Pi (g)v$ 대신에 $g\cdot v$ 과 같이 쓸 것이다.

물리학에서 표현이 필요한 전형적인 예는 대칭군 $G$ 을 갖는 선형 편미분 방정식에 대한 연구이다. 방정식의 개별 해는 $G$ 의 작용에 대해서 변할 수 있지만, 모든 해들이 이루는 선형 공간 $V$ 는 $G$ 의 작용에 따라 변하지 않는다. 따라서, $V$ 는 $G$ 의 표현을 구성한다. 아래에 설명된 ${\text{SO}}(3)$ 의 예를 참조.

기본 정의

준동형사상 $\Pi$ 이 단사인 경우 주어진 군 $G$ 와 그 상 $\Pi (G)$ 는 동형이다. 즉, $\Pi$ 가 주어진 군의 구조를 그대로 반영하므로, 표현이 충실하다고 한다.

복소 선형 공간 $V$ 에 대한 기저가 선택되면 표현은 일반 선형 군 $\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )$ 에 대한 준동형사상으로 표현될 수 있다. 이를 행렬 표현 이라고 한다. 선형 공간 $V,W$ 에서 $G$ 의 두 표현은 $V$ 와 $W$ 의 기저를 각각 선택하여 동일한 행렬 표현을 갖는 경우 동일하다.

표현 $\Pi :G\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ 이 주어지면, $V$ 의 부분공간 $W$ 는 모든 $g\in G$ 그리고 $w\in W$ 에 대해 $\Pi (g)w\in W$ 이면 불변 부분공간이라고 말한다. $V$ 의 유일한 불변 부분공간이 영 공간과 $V$ 자체인 경우 표현은 기약이라고 한다. 특정 유형의 리 군, 즉 콤팩트 ^[2] 및 반단순 ^[3] 군의 경우 모든 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 분해된다. 이 성질은 완전 환원성이라고 한다. 그러한 군에 대해 표현론의 전형적인 목표는 주어진 군의 모든 유한차원 기약 표현을 동형을 기준으로 분류하는 것이다. (아래 분류 절을 참조.)

유한 차원 내적 공간 위의 유니타리 표현은 $\Pi$ 가 유니타리 연산자 군에 사상해야 한다는 조건을 제외하고 동일한 방식으로 정의된다. $G$ 가 콤팩트 리 군인 경우 모든 유한차원 표현은 유니타리 표현과 동일하다.^[2]

리 대수 표현

리 군 $G$ 의 각 표현은 리 대수의 표현을 생성한다. 이는 후속 절에서 자세히 논의된다. 리 대수에 대해서는 리 대수 표현 참조.

예: 회전 군 SO(3)

양자 역학에서 시간에 독립적인 슈뢰딩거 방정식 ${\hat {H}}\psi =E\psi$ 는 중요한 역할을 한다. 3차원인 경우라면 ${\hat {H}}$ 가 회전 대칭을 가지면 ${\hat {H}}\psi =E\psi$ 의 해공간 $V_{E}$ 이 SO(3)의 작용에 대해 불변이다. 따라서, $V_{E}$ 는 - 각 고정 값 $E$ 에 대해 —일반적으로 유한 차원인 ${\text{SO}}(3)$ 의 표현을 구성한다. ${\hat {H}}\psi =E\psi$ 를 풀려고 할 떄, ${\text{SO}}(3)$ )의 가능한 모든 유한차원 표현이 어떻게 생겼는지 아는 것이 도움이 된다. ${\text{SO}}(3)$ 의 표현론은 예를 들어 수소 원자의 수학적 분석에서 중요한 역할을 한다.

양자역학에 관한 모든 표준 교과서에는 리 대수을 통해 SO(3)의 유한차원 기약 표현을 본질적으로 분류하는 분석이 포함되어 있다. (각운동량 연산자 간의 교환 관계는 ${\text{SO}}(3)$ 의 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$ 에 대한 관계일 뿐이다.) 이 분석의 한 가지 미묘함은 군과 리 대수의 표현이 일대일 대응이 아니라는 것이다. 이는 정수 스핀과 반정수 스핀의 차이를 이해하는 데 중요하다.

일반적인 표현

회전 군 SO(3)은 콤팩트 리 군이므로 ${\text{SO}}(3)$ 의 모든 유한차원 표현은 기약 표현들의 직합으로 분해된다. 군 ${\text{SO}}(3)$ 은 각 홀수 차원에서 하나의 기약 표현을 갖는다.^[4] 음수가 아닌 정수 $k$ 각각에 대해, $2k+1$ 차원 기약 표현은 $\mathbb {R} ^{3}$ 위의 $k$ 차 동차 조화 다항식의 공간 $V_{k}$ 으로 구현 할 수 있다.^[5] 여기서 ${\text{SO}}(3)$ 은 회전이 $\mathbb {R} ^{3}$ 위의 함수에 작용하는 일반적인 방식으로 $V_{k}$ 에 작용한다:

(\Pi (R)f)(x)=f(R^{-1}x)\quad R\in \operatorname {SO} (3).

$V_{k}$ 의 원소를 $S^{2}$ 에 대한 제한 중 각도의 구형 고조파 는 $k$ .

예를 들어, $k=1$ 라 하면 모든 1차 동차 다항식은 조화 다항식이고 선형 다항식 $x$ , $y$ , $z$ 에 의해 생성되는 3차원 선형 공간 $V_{1}$ 을 얻는다. $k=2$ 면, 다항식 $xy$ , $xz$ , $yz$ , $x^{2}-y^{2}$ , $x^{2}-z^{2}$ 으로 생성되는 선형 공간 $V_{2}$ 를 얻는다.

위에서 언급했듯이 ${\text{SO}}(3)$ 의 유한 차원 표현은 문제의 회전 대칭을 반영하여 수소 원자와 같은 방사형 전위에 대한 시간 독립적인 슈뢰딩거 방정식을 연구할 때 자연스럽게 필요하다.

사영 표현

${\text{SO}}(3)$ 의 리 대수 ${\mathfrak {so}}(3)$ 을 보면 , 이 리 대수는 ${\text{SU}}(2)$ 의 리 대수 ${\mathfrak {su}}(2)$ 와 동형이다. ${\mathfrak {su}}(2)$ 의 표현론에 따르면, ${\mathfrak {so}}(3)$ 의 기약 표현이 모든 차원에서 하나 있다. 그러나 짝수차원 표현은 군 ${\text{SO}}(3)$ 의 표현과 일치하지 않는다.^[6] 그러나 소위 "부분 스핀" 표현은 ${\text{SO}}(3)$ 의 사영 표현에 해당한다. 이러한 표현은 전자와 같은 분수 스핀을 갖는 입자의 양자 역학에서 발생한다.

표현에 대한 연산

이 절에서는 표현에 대한 세 가지 기본 연산을 설명한다. ^[7] 리 대수 표현에 대한 해당 구성도 참조.

직합

군 $G$ 에 대한 두 가지 표현 $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ 와 $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ 이 있는 경우, 직합은 $V_{1}\oplus V_{2}$ 를 기본 선형 공간으로 하고 다음과 같이 주어진 군의 작용을 사용한다: 모든 $v_{1}\in V_{1},$ $v_{2}\in V_{2}$ , 그리고 $g\in G$ 에 대해.

\Pi (g)(v_{1},v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1},\Pi _{2}(g)v_{2}).

특정 유형의 리 군(특히 콤팩트 리 군)은 모든 유한 차원 표현이 기약 표현의 직합과 동형이라는 성질을 가지고 있다. ^[2] 그러한 경우 표현의 분류는 기약 표현의 분류로 귀결된다. 완전 환원성에 대한 바일의 정리 참조.

표현의 텐서 곱

군 $G$ 에 대한 두 가지 표현 $\Pi _{1}:G\rightarrow GL(V_{1})$ 와 $\Pi _{2}:G\rightarrow GL(V_{2})$ 이 있는 경우, 표현의 텐서 곱은 기본 선형 공간으로서 텐서곱 선형 공간 $V_{1}\otimes V_{2}$ 을 갖고 $G$ 의 군 작용은 다음과 같은 가정에 의해 유일하게 결정된다: 모든 $v_{1}\in V_{1}$ 그리고 $v_{2}\in V_{2}$ 에 대해,

\Pi (g)(v_{1}\otimes v_{2})=(\Pi _{1}(g)v_{1})\otimes (\Pi _{2}(g)v_{2})

즉, $\Pi (g)=\Pi _{1}(g)\otimes \Pi _{2}(g)$ .

텐서 곱 표현 $\Pi$ 과 관련된 리 대수 표현 $\pi$ 의 공식은 다음과 같다: ^[8]

\pi (X)=\pi _{1}(X)\otimes I+I\otimes \pi _{2}(X).

두 개의 기약 표현의 텐서 곱은 일반적으로 기약이 아니다. 기약 표현의 텐서 곱을 기약 부분 공간의 직합으로 분해하는 것은 표현론의 기본 문제이다. 이 문제는 물리학 문헌에서 "각운동량 추가" 또는 "클렙슈-고든 이론"이라는 이름으로 사용된다.

쌍대 표현

$G$ 가 리 군이고 $\Pi :G\rightarrow GL(V)$ 가 $G$ 의 표현이라 하자. $V^{*}$ 를 $V$ 의 쌍대 공간, 즉, $V$ 의 선형 범함수들의 공간이라 하자. 그러면 표현 $\Pi ^{*}:G\rightarrow GL(V^{*})$ 을 다음과 같이 정의할 수 있다:

\Pi ^{*}(g)=(\Pi (g^{-1}))^{\operatorname {tr} },

여기서 임의의 연산자 $A:V\rightarrow V$ 에 대해, 전치 연산자 $A^{\operatorname {tr} }:V^{*}\rightarrow V^{*}$ 는 " $A$ 와의 합성"으로 정의된다:

(A^{\operatorname {tr} }\phi )(v)=\phi (Av).

(기저가 주어져 있다면, $A^{\operatorname {tr} }$ 은 단지 $A$ 의 일반적인 행렬 전치이다.) $\Pi ^{*}$ 이 정말 $G$ 의 표현임을 보장하기 위해 항등식 $(AB)^{\operatorname {tr} }=B^{\operatorname {tr} }A^{\operatorname {tr} }$ 에 의한 $\Pi ^{*}$ 의 정의에서 역이 필요하다.

기약 표현의 쌍대는 항상 기약이지만^[9] 원래 표현과 동형일 수도 있고 아닐 수도 있다. 예를 들어 군 ${\text{SU}}(3)$ 의 경우, 기약 표현은 음수가 아닌 정수 쌍 $(m_{1},m_{2})$ 으로 표시된다. $(m_{1},m_{2})$ 에 연관된 표현의 쌍대는 $(m_{2},m_{1})$ 에 연관된 표현이다.^[10]

리 군 대 리 대수 표현

개요

많은 경우 관련 리 대수의 표현을 연구하여 리 군의 표현을 연구하는 것이 편리하다. 그러나 일반적으로 리 대수의 모든 표현이 군의 표현에서 나오는 것은 아니다. 이 사실은 양자역학에서 정수 스핀과 반정수 스핀을 구별하는 배경이 된다. 반면, $G$ 가 단일 연결 군인 경우 정리 ^[11] 에 따르면 실제로 군과 리 대수 표현 간에 일대일 대응을 얻을 수 있다.

리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 를 갖는 리 군 $G$ 과 ${\mathfrak {g}}$ 의 표현 $\pi$ 이 주어져 있다 하자. 리 대응은 $G$ 의 연결 성분의 군 표현을 얻기 위해 사용될 수 있다. 대략적으로 말하자면, 이는 리 대수 표현의 행렬의 지수 행렬을 취함으로써 영향을 받는다. $G$ 가 단일 연결이 아니면 미묘함이 발생한다. 이로 인해 사영 표현이 생성될 수 있다. 이것은 실제로 $G$ 의 범피복 군을 표현한 것이다.

리 대응은 군의 연결 성분에 대해서만 결과를 제공하므로 전체 군의 다른 연결 성분은 각 연결 성분에 하나씩 이러한 연결 성분을 나타내는 행렬들에 대한 대표를 제공하여 별도로 처리된다. 이들은 $G$ 의 0번째 호모토피 군을 형성한다. 예를 들어 4성분 로런츠 군의 경우 공간역전과 시간역전의 대표자를 손수 넣어야 한다. 아래 로런츠 군의 표현론에서 더 자세히 묘사한다.

지수 사상

리 이론의 창시자인 수학자 소푸스 리. 다양체 이론은 리의 시대에는 발견되지 않았기 때문에 그는 국소적으로

\mathbb {R} ^{n}

의 부분 집합을 가지고 연구했다. 오늘날 이 구조는 국소 군이라고 불린다.

$G$ 가 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 를 갖는 리 군이면 ${\mathfrak {g}}$ 에서 $G$ 로 가는 지수 사상를 갖게 된다.

X\mapsto e^{X},\quad X\in {\mathfrak {g}}.

$G$ 가 행렬 리 군이면, 식 $e^{X}$ 은 지수에 대한 일반적인 거듭제곱 급수로 계산할 수 있다. 임의의 리 군 $G$ 에서 모든 $g\in U$ 가 어떤 $X\in V$ 에 대해 $g=e^{X}$ 로 유일하게 쓰일 수 있는 $G$ 의 항등원의 이웃 $U$ 과 ${\mathfrak {g}}$ 에서 원점의 이웃 $V$ 가 존재한다. 즉, 지수 사상에는 국소적 역사상이 있다. 대부분의 군에서 이는 국소적으로 적용된다. 즉, 지수 사상은 일반적으로 단사도 아니고 전사도 아니다.

군 표현의 리 대수 표현

리 군 $G$ 의 표현에서 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 표현으로 넘어가는 것은 항상 가능하다. 만약 $Π : G \to GL(V)$ 가 어떤 선형 공간 $V$ 에 대한 군 표현이면 항등원에서 밂 (미분) 또는 리 사상 $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\text{End}}V$ 은 리 대수 표현이다.^[12] 이는 다음을 사용하여 명시적으로 계산된다:

$\pi (X)=\left.{\frac {d}{dt}}\Pi (e^{tX})\right|_{t=0},\quad X\in {\mathfrak {g}}$

$\Pi$ 와 $\pi$ 를 연관짓는 기본 성질에는 지수 사상 ^[12]

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)}.

이 포함된다. ${\mathfrak {g}}$ 의 모든 표현이 이런 식으로 군 $G$ 의 표현에서 발생하는가? 앞으로 살펴보겠지만, 이는 $G$ 가 단일 연결되어 있는 경우이다.

리 대수 표현의 군 표현

이 절의 주요 결과는 다음과 같다. ^[13]

정리 :

G

가 단일 연결이면 리 대수

{\mathfrak {g}}

의 모든 표현

\pi

이

G

의 표현

\Pi

에서 나온다.

이것으로부터 다음과 같은 사실을 쉽게 얻을 수 있다.

따름정리:

G

가 연결되어 있지만 단일 연결이 아니면,

{\mathfrak {g}}

의 모든 표현

\pi

은

G

의 범피복 군

{\tilde {G}}

의 표현

\Pi

에서 나온다.

\pi

가 기약이면

\Pi

는

G

의 사영 표현으로 내려간다.

양자계에서 $\psi$ 가 파동함수들이 이루는 힐베르트 공간의 벡터이면 상수 $c$ 에 대해 $c\psi$ 는 동일한 물리적 상태를 나타낸다. 따라서, 일반적인 표현 외에도 사영 표현을 허용하는 것이 당연하다. 연결 리 군 $G$ 의 모든 유한차원 사영 표현은 $G$ 의 범피복 군 ${\tilde {G}}$ 의 일반적인 표현에서 유래된다.^[14] 반대로, 아래에서 논의하겠지만, ${\tilde {G}}$ 의 모든 일반적인 기약 표현은 $G$ 의 사영 표현으로 내려간다. 물리학 문헌에서 사영 표현은 종종 다중 값 표현으로 불린다. 이는 양자 역학의 분수 스핀 연구에 중요하다.

여기서

V

는 유한차원 벡터공간이고,

GL(V)

는

V

에 대한 모든 가역 선형 변환의 집합이고,

{\mathfrak {gl}}(V)

는 그 군의 리 대수이다. 사상

π

와

Π

는 각각 리 대수와 리 군의 표현이고

exp

는 지수 사상이다.

Π

가 사영 표현인 경우 이 그림은 부호를 기준으로만 가환이다.

이제 위의 주요 결과에 대한 증명을 간략하게 설명한다. $\pi :{\mathfrak {g}}\to {\mathfrak {gl}}(V)$ 가 선형 공간 $V$ 위에서 ${\mathfrak {g}}$ 의 표현이라 하자. 관련 리 군 표현 $\Pi$ 가 있을 경, 이전 절의 지수 관계를 충족해야 한다. 이제 $G$ 의 항등원의 이웃 $U$ 에서 이 관계

\Pi (e^{X})=e^{\pi (X)},\quad g=e^{X}\in U.

를 이용해 지수 사상의 국소적 가역성에 비추어 사상 $\Pi$ 을 정의 할 수 있다. 그러면 핵심 질문은 다음과 같다. 이 국소적으로 정의된 사상이 "국소 준동형사상"인가? (이 질문은 지수 사상이 전역적으로 일대일로 이루어지는 특별한 경우에도 적용된다. 이 경우, $\Pi$ 는 전역적으로 정의된 사상이 될 것이지만 왜 $\Pi$ 이 준동형사상이 되는지는 분명하지 않다.) 이 질문에 대한 대답은 '그렇다'이다. $\Pi$ 는 국소 준동형사상이며 베이커-캠벨-하우스도르프 공식을 사용하여 확립할 수 있다. ^[15]

$G$ 가 연결이면 $G$ 의 모든 원소가 적어도 ${\mathfrak {g}}$ 의 원소들의 지수의 곱이다. 따라서 . $\Pi$ 는 전역적으로

{\begin{aligned}\Pi (g=e^{X})&\equiv e^{\pi (X)},&&X\in {\mathfrak {g}},\quad g=e^{X}\in \operatorname {im} (\exp ),\\\Pi (g=g_{1}g_{2}\cdots g_{n})&\equiv \Pi (g_{1})\Pi (g_{2})\cdots \Pi (g_{n}),&&g\notin \operatorname {im} (\exp ),\quad g_{1},g_{2},\ldots ,g_{n}\in \operatorname {im} (\exp ).\end{aligned}}

(G2)

과 같다고 잠정적으로 정의할 수 있다. 그러나 주어진 군 원소를 지수들의 곱으로 표현하는 것은 유일한 것과는 매우 거리가 멀기 때문에 $\Pi$ 가 잘 정의되어 있는지 명확하지 않다.

$\Pi$ 가 잘 정의되어 있는지에 대한 질문을 해결하기 위해, 각 원소 $g\in G$ 를 연속적 경로를 사용하여 항등원과 연결한다. 그러면 그 경로를 따라 $\Pi$ 를 정의할 수 있고 $\Pi (g)$ 의 값이 끝점이 고정된 경로의 연속적 변형에서는 바뀌지 않음을 보일 수 있다. $G$ 가 단일 연결이면 항등원에서 시작하여 $g$ 에서 끝나는 모든 경로는 다른 경로로 지속적으로 변형될 수 있으며, 이는 $\Pi (g)$ 가 경로 선택과 완전히 독립적임을 보여준다. $\Pi$ 의 초기 정의를 고려하면 항등원 근처에 국소적 준동형사상이 있었으므로 전역적으로 정의된 사상도 (G2)를 만족하는 동형임을 보여주는 것은 어렵지 않다.^[16]

$G$ 가 단일 연결이 아니면 위의 과정을 $G$ 의 범피복 군 ${\tilde {G}}$ 에도 적용할 수 있다. $p:{\tilde {G}}\rightarrow G$ 가 덮개 사상이라 하자. 만약 $\Pi :{\tilde {G}}\rightarrow \operatorname {GL} (V)$ 의 핵이 $p$ 의 핵을 포함해야 한다면, $\Pi$ 는 원래 군 $G$ 의 표현으로 내려간다. 그렇지 않은 경우에도 $p$ 의 핵은 ${\tilde {G}}$ 의 이산 정규 부분군이다. 따라서 이는 ${\tilde {G}}$ 의 중심에 위치한다. 따라서 만약 $\pi$ 가 기약이면, 슈어의 보조정리는 $p$ 의 핵이 항등원의 스칼라 배로 작용할 것을 의미한다. 따라서, $\Pi$ 는 $G$ 의 사영 표현으로 내려간다. 즉, 항등원을 법으로 스칼라 배로만 정의되는 것이다.

예를 들어, 이것이 이중 연결 $SO(3, 1) +$ 에 특화되면 범피복 군은 ${\text{SL}}(2,\mathbb {C} )$ 과 같다. 그리고 그에 상응하는 표현이 충실한지 여부는 $Π$ 가 사영인지 여부를 결정한다.

콤팩트 리 군인 경우의 분류

$G$ 가 연결 콤팩트 리 군인 경우, 그 유한 차원 표현은 기약 표현의 직합으로 분해될 수 있다.^[17] 기약 원소는 "가장 높은 가중치의 정리"에 따라 분류된다. 여기서는 이 이론에 대해 간략하게 설명한다. 자세한 내용은 연결된 콤팩트 리 군의 표현과 반단순 리 대수의 표현 참조.

$T$ 를 $G$ 의 극대 원환체로 설정한다. 슈어의 보조 정리에 따르면 $T$ 의 기약 표현은 1차원이다. 이러한 표현은 쉽게 분류될 수 있으며 특정 "가중치"로 이름표가 지정된다. $\Sigma$ 가 $G$ 의 기약 표현이면, $T$ 에 대한 $\Sigma$ 의 제한은 일반적으로 기약이 아니지만 연관된 가중치로 이름표가 지정된 $T$ 의 기약 표현의 직합으로 분해된다.(동일한 가중치가 여러 번 발생할 수 있다.) 고정된 $\Sigma$ 의 경우, 가중치 중 하나를 "가장 높은" 것으로 식별할 수 있으며 그러면 표현은 이 가장 높은 가중치로 분류된다.

표현론의 중요한 측면은 지표 관련 이론이다. $G$ 의 표현 $\Sigma$ 에 대해서 지표는

\chi _{G}(g)=\operatorname {trace} (\Sigma (g))

로 주어진 함수

\chi _{G}:G\rightarrow \mathbb {C}

이다. 동일한 지표를 갖는 두 표현은 동형이다. 더욱이 바일 지표 공식은 최고 가중치 측면에서 표현의 특성에 대한 놀라운 공식을 제공한다. 이 공식은 표현에 대한 많은 유용한 정보를 제공할 뿐만 아니라 최고 가중치 정리를 증명하는 데에도 중요한 역할을 한다.

힐베르트 공간의 유니타리 표현

$V$ 를 무한 차원일 수 있는 복소 힐베르트 공간으로 두고, $U(V)$ 를 $V$ 의 유니타리 연산자 군이라 하자. $V$ 에 대한 리 군 $G$ 의 유니타리 표현은 각각에 고정된 $v\in V$ 에 대해, $G$ 에서 $V$ 로 가는 사상

g\mapsto \Pi (g)v

이 연속인 군 준동형사상 $\Pi :G\rightarrow U(V)$ 이다.

유한차원 유니타리 표현

힐베르트 공간 $V$ 가 유한차원이면 연관된 $G$ 의 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 표현 $\pi$ 이 있다. $G$ 가 연결이면 $G$ 의 표현 $\Pi$ 가 유니타리임과 $\pi (X)$ 가 각 $X\in {\mathfrak {g}}$ 에 대해 유사 자기 수반임이 동치이다.

$G$ 가 콤팩트하면 $G$ 의 모든 표현 $\Pi$ 이 유한차원 선형 공간에서 $V$ 는 "유니타리화 가능"이다. 즉, $V$ 에서 내적을 적당히 선택하여 모든 $g\in G$ 에 대해 각 $\Pi (g)$ 가 유니타리이도록 만들 수 있다.^[18]

무한차원 유니타리 표현

힐베르트 공간 $V$ 가 무한 차원이 될 수 있다면, 유니타리 표현 의 연구는 유한 차원인 경우에는 존재하지 않는 많은 흥미로운 특징을 포함한다. 예를 들어, 리 대수 ${\mathfrak {g}}$ 의 적절한 표현 구성이 어려워진다. 리 대수 표현이 잘 이해되는 한 가지 경우에는 연관된 리 대수 표현이 (g,K)-가군을 형성하는 반단순 리 군인 경우가 있다.

푸리에 분석에서도 유니타리 표현의 예시가 발생한다. $G=\mathbb {R}$ 라 하자. 그리고 복소 힐베르트 공간 $V$ 를 $L^{2}(\mathbb {R} )$ 과 같이 설정한다. 표현 $\psi :\mathbb {R} \rightarrow U(L^{2}(\mathbb {R} ))$ 을

[\psi (a)(f)](x)=f(x-a)

로 정의 하자. 다음은 리 군의 유니타리 표현이 분석된 몇 가지 중요한 예이다.

스톤-폰 노이만 정리는 하이젠베르크 군의 기약 유니타리 표현을 분류하는 것으로 이해될 수 있다.
푸앵카레 군의 표현에 대한 위그너의 분류는 입자의 질량과 스핀이 군론을 통해 이해될 수 있는 방법을 보여줌으로써 양자장론에서 중요한 개념적 역할을 한다.
SL(2,R)의 표현론은 바그만에 의해 연구되었으며 콤팩트가 아닌 반단순 리 군의 유니타리 표현 연구를 위한 프로토타입 역할을 한다.

사영 표현

바그만의 정리에서, 특정 유형의 리 군 $G$ 에 대해, $G$ 의 기약 사영 유니타리 표현들은 $G$ 의 범피복 군의 일반적인 유니타리 표현과 일대일 대응한다고 한다. 바그만의 정리가 적용되는 중요한 예에는 SO(3)(방금 언급한 바와 같이)와 푸앵카레 군이 있다. 후자의 경우는 양자장론에 적용되는 푸앵카레 군의 사영 표현에 대한 위그너 분류에 중요하다. 바그만의 정리가 적용되지 않는 한 가지 예에 $\mathbb {R} ^{2n}$ 가 있다.

양자물리학에서는 리 군 $G$ 의 사영 유니타리 표현에 관심이 있는 경우가 많다. 이러한 관심이 집중되는 이유는 양자 계의 상태가 힐베르트 공간 $\mathbf {H}$ 의 벡터로 표현되기 때문이다. —그러나 상수배만 다른 두 상태는 실제로 동일한 물리적 상태를 나타낸다. 힐베르트 공간의 대칭성은 유니타리 연산자로 설명되지만 항등원의 배수인 유니타리 연산자는 계의 물리적 상태를 바꾸지 않는다. 따라서 일반적인 유니타리 표현, 즉, $G$ 에서 유니타리 군 $U(\mathbf {H} )$ 으로 가는 준동형사상에는 관심이 없다. — 오히려 사영 유니타리 표현에서 — 즉, $G$ 에서 사영 유니타리 군

PU(\mathbf {H} ):=U(\mathbf {H} )/\{e^{i\theta }I\}.

으로 가는 준동형사상에 관심이 있다. 다르게 말하면, 사영 표현의 경우 유니타리 연산자 $\rho (g),\,\,g\in G$ 들의 족을 구성한다. 여기서는 $\rho (g)$ 를 절대값 1인 상수배로 바꾸는 것은 "동일한" 연산자로 본다. 연산자 $\rho (g)$ 들은 상수배를 기준으로 준동형사상의 조건을 충족해야 한다.

\rho (g)\rho (h)=e^{i\theta _{g,h}}\rho (gh).

위에서 회전 군 SO(3)의 기약 사영 유니타리 표현에 대해 이미 논의했다. 사영 표현을 고려하면 정수 스핀 외에 분수 스핀도 허용된다.

.

가환인 경우

$G$ 는 가환 리 군이면 복소 선형 공간에서 $G$ 의 모든 기약 유니타리 표현은 1차원이다. (이는 슈어 보조정리에서 유래하며 표현이 유한 차원으로 미리 가정되지 않더라도 유지된다.) 따라서, $G$ 의 기약 유니타리 표현은 단순히 $G$ 에서 단위원 군 U(1)로 가는 연속 준동형사상이다. 예를 들어, $G=\mathbb {R}$ 이면, 기약 유니타리 표현은 다음과 같은 형식을 갖는다. 어떤 실수 $a$ 에 대해

\Pi (x)=[e^{iax}]

.

이 경우에는 폰트랴긴 쌍대성 참조.

같이보기

각주

↑ Hall 2015 Corollary 3.51
↑ ^가 ^나 ^다 Hall 2015 Theorem 4.28
↑ Hall 2015 Section 10.3
↑ Hall 2015 Section 4.7
↑ Hall 2013 Section 17.6
↑ Hall 2015 Proposition 4.35
↑ Hall 2015, Section 4.3
↑ Hall 2015, Proposition 4.18
↑ Hall 2015 Proposition 4.22
↑ Hall 2015 Chapter 6, Exercise 3. See also Chapter 10, Exercise 10
↑ Hall 2015 Theorem 5.6
↑ ^가 ^나 Hall 2015, Theorem 3.28
↑ Hall 2015, Theorem 5.6
↑ Hall 2013, Section 16.7.3
↑ Hall 2015, Proposition 5.9
↑ Hall 2015, Theorem 5.10
↑ Hall 2015 Theorems 4.28
↑ Hall 2015 proof of Proposition 4.28

참고문헌

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Hall, Brian C. (2013), 《Quantum Theory for Mathematicians》, Graduate Texts in Mathematics 267, Springer, ISBN 978-1461471158
Hall, Brian C. (2015), 《Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction》, Graduate Texts in Mathematics 222 2판, Springer, ISBN 978-3319134666
Knapp, Anthony W. (2002), 《Lie Groups Beyond an Introduction》, Progress in Mathematics 140 2판, Boston: Birkhäuser
Rossmann, Wulf (2001), 《Lie Groups: An Introduction Through Linear Groups》, Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford University Press, ISBN 978-0-19-859683-7
Weinberg, S. (2002) [1995], 《Foundations》, The Quantum Theory of Fields 1, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-55001-7

[[분류:리 군]]

[1] Hall 2015 Corollary 3.51

[auto-2] 가 ^나 ^다 Hall 2015 Theorem 4.28

[3] Hall 2015 Section 10.3

[4] Hall 2015 Section 4.7

[5] Hall 2013 Section 17.6

[6] Hall 2015 Proposition 4.35

[7] Hall 2015, Section 4.3

[8] Hall 2015, Proposition 4.18

[9] Hall 2015 Proposition 4.22

[10] Hall 2015 Chapter 6, Exercise 3. See also Chapter 10, Exercise 10

[11] Hall 2015 Theorem 5.6

[auto1-12] 가 ^나 Hall 2015, Theorem 3.28

[13] Hall 2015, Theorem 5.6

[14] Hall 2013, Section 16.7.3

[15] Hall 2015, Proposition 5.9

[16] Hall 2015, Theorem 5.10

[17] Hall 2015 Theorems 4.28

[18] Hall 2015 proof of Proposition 4.28

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