생성 집합

범주론에서 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱의 몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의

범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상들의 집합 ${\mathfrak {G}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {C}}$의 생성 집합이라고 한다.^{:Definition 7.14}

• 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 만약 $f\neq g$라면, $f\circ h\neq g\circ h$가 되는 대상 $G\in {\mathfrak {G}}$ 및 사상 $h\colon G\to X$가 존재한다.

  $G{\overset {\exists h}{\to }}X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y$

만약 ${\mathcal {C}}$가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon {\mathcal {C}}\to \operatorname {Set}$

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom(G,X)$

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(G,-)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon G\to X)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (f\circ h_{G}\colon G\to Y)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)$

만약 ${\mathcal {C}}$가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 모든 대상 $X\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.

  $\pi =\coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(G,X)}h$

  $\pi \colon \coprod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(G,X)}G\to X$

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱의 몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합 ${\mathfrak {G}}=\{G\}$가 한원소 집합이라면, $G$를 ${\mathcal {C}}$의 생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주 ${\mathcal {C}}$ 속의 대상들의 집합 ${\mathfrak {G}}$가 다음 조건을 만족시킨다면, ${\mathcal {C}}$의 쌍대 생성 집합이라고 한다.^{:Definition 7.16}

• 임의의 두 사상 $f,g\colon X\to Y$에 대하여, 만약 $f\neq g$라면, $h\circ f\neq h\circ g$가 되는 대상 $G\in {\mathfrak {G}}$ 및 사상 $h\colon Y\to G$가 존재한다.

  $X{\underset {g}{\overset {f}{\rightrightarrows }}}Y{\overset {\exists h}{\to }}G$

만약 ${\mathcal {C}}$가 국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon {\mathcal {C}}^{\operatorname {op} }\to \operatorname {Set}$

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon X\mapsto \prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(X,G)$

  $\prod _{G\in {\mathfrak {G}}}\hom _{\mathcal {C}}(-,G)\colon (X{\overset {f}{\to }}Y)\mapsto \left((h_{G}\colon Y\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\mapsto (h_{G}\circ f\colon X\to G)_{G\in {\mathfrak {G}}}\right)$

만약 ${\mathcal {C}}$가 국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

• 모든 대상 $X\in {\mathcal {G}}$에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.

  $\pi =\prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom _{\mathcal {C}}(X,{\mathfrak {G}})}h$

  $\pi \colon X\to \prod _{G\in {\mathfrak {G}},h\in \hom(X,G)}G$

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 곱의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우

대수 구조 다양체의 범주 ${\mathcal {V}}$는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자인 자유 대상 함자

$\operatorname {Forget} \colon {\mathcal {V}}\rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Free}$

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상 $\operatorname {Free} (\{\bullet \})$은 항상 ${\mathcal {V}}$의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상의 쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합 $S$에 대하여 다음이 성립한다.

$\coprod _{s\in S}\operatorname {Free} (\{s\})\cong \operatorname {Free} (S)$

따라서, $\operatorname {Free} (\{\bullet \})$이 생성 대상이라는 것은 ${\mathcal {V}}$에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수 $A$를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을 $A$의 표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

$A\cong \langle S|(t_{1}=t_{2})_{(t_{1},t_{2})\in \sim }\rangle$

여기서

• $S$는 집합이다.
• $\sim$은 전사 사상 $\operatorname {Free} (S)\to A$를 정의하는, $\operatorname {Free} (S)$ 위의 합동 관계이다. 즉, $S$의 원소와 대수 구조 다양체 ${\mathcal {V}}$의 연산들로 적을 수 있는 두 항 $t_{1},t_{2}\in \operatorname {Free} (S)$에 대한 등식 $t_{1}=t_{2}$의 꼴로 적을 수 있다.

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

예

집합

집합 $S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

• 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$의 생성 대상이다.
• 공집합이 아니다.

집합 $S$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Example 7.18(1)}

• 집합과 함수의 범주 $\operatorname {Set}$의 쌍대 생성 대상이다.
• 공집합이나 한원소 집합이 아니다.

위상 공간

위상 공간과 연속 함수의 범주 $\operatorname {Top}$는 국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간 $\{\bullet \}$은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱은 이산 공간이며, 임의의 위상 공간 $X$에 대하여 $X$ 위에 이산 위상을 부여한 공간 $\operatorname {Disc} (\operatorname {Points} (X))$을 정의한다면, 수반 함자

$\operatorname {Points} \colon \operatorname {Top} \rightleftarrows \operatorname {Set} \colon \operatorname {Disc}$

의 쌍대단위원

$\eta \colon \operatorname {Disc} \circ \operatorname {Points} \Rightarrow \operatorname {Id} _{\operatorname {Top} }$

은 연속 함수

$\eta _{X}\colon \operatorname {Disc} (\operatorname {Points} (X))\to X$

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.^{:Example 7.18(4)}

• 위상 공간의 범주의 쌍대 생성 대상이다.
• 콜모고로프 공간이 아니다.

가군

모든 환은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $_{R}\operatorname {Mod}$는 대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군 $_{R}R$는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로, $R_{R}$는 오른쪽 가군의 범주 $\operatorname {Mod} _{R}$의 생성 대상을 이룬다.

환 $R$ 위의 왼쪽 가군의 범주 $_{R}\operatorname {Mod}$는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환 $R$의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼 $_{R}{\mathfrak {M}}$에 대한 $_{R}R$의 몫가군 $R/{\mathfrak {M}}$)들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

$\bigoplus _{_{R}{\mathfrak {M}}}{}E(_{R}R/{\mathfrak {M}})$

을 $_{R}\operatorname {Mod}$의 표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는 $_{R}\operatorname {Mod}$의 쌍대 생성 대상을 이룬다.^{:508, Theorem 19.10} 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군 $_{R}R$는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환 $R$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.^{:514, Theorem (19.25)}

• 모든 충실한 $R$-왼쪽 가군은 $_{R}\operatorname {Mod}$의 쌍대 생성 대상이다.
• $_{R}R$는 단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
• $_{R}R$는 단사 가군이며, $R$의 모든 왼쪽 단순 가군은 왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(영어: left Kasch ring)이다.)
• $_{R}R$는 $_{R}\operatorname {Mod}$의 쌍대 생성 대상이며, $R$의 모든 오른쪽 단순 가군은 오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, $R$는 오른쪽 카슈 환이다.)
• $_{R}R$는 $_{R}\operatorname {Mod}$의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군의 동형류의 수는 유한하다.

이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.

아벨 군

아벨 군의 개념은 정수환 $\mathbb {Z}$ 위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군 $\mathbb {Z} /p$이며, 그 단사 껍질은 프뤼퍼 군 $\mathbb {Z} (p^{\infty })$이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합인 나눗셈군

$\mathbb {Q} /\mathbb {Z} =\bigoplus _{p}\mathbb {Z} (p^{\infty })$

이다.^{:509, Example (19.11)(1)} 즉, 모든 아벨 군 $G$는 직접곱

$\prod _{|G|}(\mathbb {Q} /\mathbb {Z} )$

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역 $D$에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체의 몫가군 $(\operatorname {Frac} D)/D$이다.^{:509, Example (19.11)(1)}

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주

범주 $\operatorname {Set} \times \operatorname {Set}$는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

$\left\{(\{\bullet \},\varnothing ),(\varnothing ,\{\bullet \})\right\}$

는 $\operatorname {Set} \times \operatorname {Set}$ 생성 집합을 이룬다.^{:Example 7.15(3)}

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.^{:Example 7.18(8)}

• 군의 범주 $\operatorname {Grp}$. (단순군의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
• 환의 범주 $\operatorname {Ring}$. (단순환, 특히 체의 크기는 상한을 갖지 않는다.)
• 하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {HausTop}$

참고 문헌

• Mac Lane, Saunders (1998). 《Categories for the working mathematician》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 5 2판. Springer. doi:10.1007/978-1-4757-4721-8. ISBN 978-1-4419-3123-8. ISSN 0072-5285. MR 1712872. Zbl 0906.18001. 

외부 링크

• “Generator of a category”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• “Separator”. 《nLab》 (영어). 
• “Cogenerator”. 《nLab》 (영어). 
• “Generators and relations”. 《nLab》 (영어). 
• “What are examples of cogenerators in R-mod?” (영어). Math Overflow.