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생성 집합

(쌍대 생성 집합에서 넘어옴)

범주론에서, 생성 집합(生成集合, 영어: generating set, separating set)은 그 원소들의 쌍대곱몫 대상으로 모든 대상을 나타낼 수 있는, 범주 속의 대상 집합이다.

정의편집

범주   속의 대상들의 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.14

  • 임의의 두 사상  에 대하여, 만약  라면,  가 되는 대상   및 사상  가 존재한다.
     

만약  국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
     
     
     

만약  국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 쌍대곱을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 모든 대상  에 대하여, 다음과 같은 사상이 전사 사상이다.
     
     

다시 말해, 모든 대상은 생성 집합에 속하는 대상들의 쌍대곱몫 대상과 동형이다.

만약 생성 집합  한원소 집합이라면,   생성 대상(영어: generating object, generator)이라고 한다.

위 개념을 모두 쌍대화하여 쌍대 생성 집합(영어: cogenerating set, coseparating set)과 쌍대 생성 대상(영어: cogenerating object, cogenerator, coseparator)을 정의할 수 있다. 범주   속의 대상들의 집합  가 다음 조건을 만족시킨다면,  쌍대 생성 집합이라고 한다.[1]:Definition 7.16

  • 임의의 두 사상  에 대하여, 만약  라면,  가 되는 대상   및 사상  가 존재한다.
     

만약  국소적으로 작은 범주라면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 다음과 같은 함자는 충실한 함자이다.
     
     
     

만약  국소적으로 작은 범주이자 모든 집합 크기의 을 가진다면, 이는 다음 조건과 동치이다.

  • 모든 대상  에 대하여, 다음과 같은 사상이 단사 사상이다.
     
     

다시 말해, 모든 대상은 쌍대 생성 집합에 속하는 대상들의 부분 대상과 동형이다.

대수 구조의 경우편집

대수 구조 다양체범주  는 항상 완비 범주이자 쌍대 완비 범주이다. 집합의 범주로 가는 망각 함자 및 그 오른쪽 수반 함자자유 대상 함자

 

를 생각하자. 이 경우, 한원소 집합 위의 자유 대상  은 항상  의 생성 대상을 이룬다. 한원소 집합 위의 자유 대상쌍대곱은 더 큰 집합 위의 자유 대상이다. 즉, 모든 집합  에 대하여 다음이 성립한다.

 

따라서,  이 생성 대상이라는 것은  에 속하는 모든 대수는 자유 대수의 몫대수로 나타낼 수 있음을 뜻한다.

대수  를 이와 같이 자유 대수의 몫대수로 나타내는 것을  표시(영어: presentation)라고 한다. 이는 일반적으로 다음과 같이 표기한다.

 

여기서

  •  집합이다.
  •  전사 사상  를 정의하는,   위의 합동 관계이다. 즉,  의 원소와 대수 구조 다양체  의 연산들로 적을 수 있는 두 항  에 대한 등식  의 꼴로 적을 수 있다.

군의 표시는 대수 구조의 표시의 특수한 경우다.

반면, 일반적으로 대수 구조 다양체의 범주는 쌍대 생성 대상을 가지지 않을 수 있다.

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집합편집

집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.

  • 집합과 함수의 범주  의 생성 대상이다.
  • 공집합이 아니다.

집합  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(1)

위상 공간편집

위상 공간연속 함수의 범주  국소적으로 작은 범주이며, 완비 범주이며, 쌍대 완비 범주이다. 이 범주에서 한원소 공간  은 생성 대상이다. 구체적으로, 한원소 공간들의 쌍대곱이산 공간이며, 임의의 위상 공간  에 대하여   위에 이산 위상을 부여한 공간  을 정의한다면, 수반 함자

 

의 쌍대단위원

 

연속 함수

 

를 정의하며, 이는 (전단사 함수이므로) 전사 사상이자 단사 사상이다. 즉, 모든 위상 공간은 이산 공간의 범주론적 몫 대상으로 나타낼 수 있다.

위상 공간  에 대하여 다음 두 조건이 서로 동치이다.[1]:Example 7.18(4)

가군편집

모든 은 1을 가지며, 모든 가군은 1을 보존한다고 하자.

  위의 왼쪽 가군의 범주  대수 구조 다양체의 범주이므로, 한원소 집합 위의 자유 가군  는 그 생성 대상을 이룬다. 마찬가지로,  오른쪽 가군의 범주  의 생성 대상을 이룬다.

  위의 왼쪽 가군의 범주  는 또한 항상 쌍대 생성 대상을 갖는다. 구체적으로, 환  의 모든 왼쪽 단순 가군(=극대 왼쪽 아이디얼  에 대한  의 몫가군  )들의 (동형류의) 단사 껍질들의 직합

 

 표준 쌍대 생성 가군(영어: canonical cogenerator)이라고 하며, 이는  의 쌍대 생성 대상을 이룬다.[2]:508, Theorem 19.10 특히, 모든 왼쪽 단순 가군들의 집합은 쌍대 생성 집합을 이룬다.

일반적으로, 자유 가군  는 쌍대 생성 대상이 아닐 수 있다. 환  에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.[2]:514, Theorem (19.25)

  • 모든 충실한  -왼쪽 가군 의 쌍대 생성 대상이다.
  •  단사 가군이며 유한 쌍대 생성 가군이다.
  •  단사 가군이며,  의 모든 왼쪽 단순 가군왼쪽 아이디얼과 동형이다. (즉, 왼쪽 카슈 환(영어: left Kasch ring)이다.)
  •   의 쌍대 생성 대상이며,  의 모든 오른쪽 단순 가군오른쪽 아이디얼과 동형이다. (즉,  는 오른쪽 카슈 환이다.)
  •   의 쌍대 생성 대상이며, 오른쪽 단순 가군동형류의 수는 유한하다.

이 조건을 만족시키는 환을 왼쪽 유사 프로베니우스 환(영어: left pseudo-Frobenius ring)이라고 한다.

아벨 군편집

아벨 군의 개념은 정수환   위의 가군과 같다. 이 경우 단순 가군은 소수 크기의 순환군  이며, 그 단사 껍질프뤼퍼 군  이다. 따라서 표준 쌍대 생성 가군은 모든 프뤼퍼 군들의 직합나눗셈군

 

이다.[2]:509, Example (19.11)(1) 즉, 모든 아벨 군  직접곱

 

보다 일반적으로, 임의의 데데킨트 정역  에 대하여, 표준 쌍대 생성 가군은 분수체몫가군  이다.[2]:509, Example (19.11)(1)

(쌍대) 생성 집합이 없는 범주편집

범주  는 생성 대상을 갖지 않는다. 그러나

 

  생성 집합을 이룬다.[1]:Example 7.15(3)

다음 범주들은 쌍대 생성 집합을 갖지 않는다.[1]:Example 7.18(8)

  • 군의 범주  . (단순군크기는 상한을 갖지 않는다.)
  • 의 범주  . (단순환, 특히 크기는 상한을 갖지 않는다.)
  • 하우스도르프 공간의 범주  

참고 문헌편집

  1. Adámek, Jiří; Herrlich, Horst; Strecker, George (2006). “Abstract and concrete categories: the joy of cats”. 《Reprints in Theory and Applications of Categories》 (영어) 17: 1–507. Zbl 1113.18001. 
  2. Lam, Tsit-Yuen (1999). 《Lectures on modules and rings》. Graduate Texts in Mathematics (영어) 189. Springer. ISBN 978-0-387-98428-5. MR 1653294. doi:10.1007/978-1-4612-0525-8. 

외부 링크편집