위상 K이론

(위상 K군에서 넘어옴)

대수적 위상수학에서 위상 K이론(位相K理論, 영어: topological K-theory)은 위상 공간 위의 벡터 다발을 연구하는 분야이다.[1] 보다 일반적인 K이론의 특수한 경우다.

정의

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벡터 다발을 통한 정의

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0차 K군

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다음이 주어졌다고 하자.

  • 콤팩트 하우스도르프 공간  
  • 기호  . 이에 대하여,
    •  -벡터 다발은   위의 (유한 차원, 연속) 실수 벡터 다발이다. (O는 직교군을 뜻한다.)
    •  -벡터 다발은   위의 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발이다. (U는 유니터리 군을 뜻한다.)
    •  -벡터 다발은   위의 (유한 차원, 연속) 실수 짝수 차원 벡터 다발 가운데, (만약  차원이라면)  --주다발연관 벡터 다발로 표현되는 것이다. (Sp는 심플렉틱 군을 뜻한다.)

그렇다면,   위의  -벡터 다발

 

들의 동형류들의 집합을 생각할 수 있다. 이는 직합을 통하여 가환 모노이드를 이루며,  인 경우 텐서곱을 통하여 가환 반환을 이룬다. (직합에 대한 항등원은 자명한 0차원 벡터 다발이며, 텐서곱에 대한 항등원은 자명한 1차원 실수 또는 복소수 벡터 다발이다.)

  에 대한 K군(K-group)    위의  -벡터 다발들의 그로텐디크 군이다. 만약  라면, 이는 가환환을 이룬다.

흔히, 만약  를 생략하였다면,  를 뜻한다.

축소 K군

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 점을 가진 공간이라고 하자. 그렇다면 축소 K군(縮小K群, 영어: reduced K-group)  는 다음과 같다. 다음과 같은 준동형이 존재한다.

 

그렇다면

 

이다.

벡터 다발의 차원에 해당하는, 다음과 같은 군 준동형이 존재한다.

 

여기서  는 정수 계수를 가지는 체흐 코호몰로지다. 만약  연결 공간이라면  이다. 이 경우  이며, 벡터 공간   차원 벡터 다발들이 이루는 그로텐디크 군이다.

상대 K군(영어: relative K-group)은 상대 호몰로지와 유사한 개념으로, 다음과 같다.  가 부분 공간이라고 하자. 그렇다면   에 대한 상대 K군  는 다음과 같다.

 

여기서  의 점은 물론  이다.

 가 (콤팩트하지 않을 수 있는) 국소 콤팩트 하우스도르프 공간이라고 하자. 그렇다면, 콤팩트 지지 K군(영어: K-group with compact support)  는 그 알렉산드로프 콤팩트화  의 축소 K군이다.

 

물론, 만약  가 콤팩트 하우스도르프 공간이라면,

 

이다.

고차 K군

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−n차 축소 K군  는 다음과 같다.

 

여기서  는 위상 공간의 분쇄곱이고,   차원 초구다. 여기서  이므로,  의 정의는 일관적이다. 또한  이므로,  이다.

−n차 (비축소) K군  는 그 알렉산드로프 콤팩트화  의 축소 K군이다.

 

고차 축소 K군들은 주기적이다. 즉, 다음이 성립한다.

  •  
  •  .

이를 보트 주기성(Bott periodicity)이라고 한다. 보트 주기성을 사용하여 양의 정수차 K군  ,   등을 정의할 수 있다.

안정 벡터 다발을 통한 정의

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콤팩트 하우스도르프 공간  가 주어졌다고 하자.   위의 두 (유한 차원, 연속) 복소수 벡터 다발  ,   사이에 다음과 같은 동치 관계를 정의하자.

 

여기서   차원 자명한 복소수 벡터 다발이며, 우변의  은 연속 복소수 벡터 다발의 동형이다.

동치 관계에 대한 동치류안정 벡터 다발(安定vector다발, 영어: stable vector bundle)이라고 한다. 안정 벡터 다발들은 직합에 대하여 가환 모노이드를 이루며, 이는 사실 아벨 군이다. 이를  의 0차 축소 K군  이라고 한다.

분류 공간을 통한 정의

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기호  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 리 군의 포함 관계

 

에 대한 분류 공간의 포함 관계

 

가 존재한다. 구체적으로, 이는 어떤 위상 공간   위의  -벡터 다발  가 주어졌을 때,  -벡터 다발  를 취하는 것이다 ( 는 자명한 1차원 또는 2차원 벡터 다발). 이에 따라서, 귀납적 극한

 

를 취할 수 있다.

이들은 구체적으로 다음과 같이 표현된다. 직교군  분류 공간  은 무한 차원 실수 벡터 공간에서 원점을 지나는  차원 부분 공간들의 공간(그라스만 다양체)이며, 유니터리 군  분류 공간  은 무한 차원 복소수 벡터 공간에서 원점을 지나는 복소수  차원 부분 공간들의 공간이다.

 CW 복합체호모토피 동치인 위상 공간이라고 하자. 그렇다면,  K군은 다음과 같다.

 

여기서    호모토피류들의 집합이다.

만약,   차원 연결 공간이고  일 때,

 
 

이 성립한다.

성질

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함자성

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 가 적절한 위상 공간의 범주(예를 들어, 콤팩트 생성 약한 하우스도르프 공간의 범주)라고 하자. 그렇다면, 위상 K이론은 다음과 같은 함자를 정의한다.

 
 
 

여기서

  •  는 위상 공간의 호모토피 범주이다.
  •  가환환의 범주이다.
  •  가환군의 범주이다.
  •  반대 범주이다.

즉, 연속 함수  가 주어지면, 이에 따라 환 준동형  가 존재한다.

또한, 축소 위상 K이론은 다음과 같이 점을 가진 공간의 범주 위의 함자를 정의한다.

 
 
 

특히, 위상 K이론은 호모토피 불변량이다. 즉, 서로 호모토피 동치인 공간들의 K군들은 동형이다.

보트 주기성

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다음이 성립한다.

 
 
 

분류 공간으로서, 이는 다음과 같은 호모토피 동치에서 기인한다.

 
 
 

코호몰로지

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위상 K이론은 코호몰로지에 대한 에일렌베르크-스틴로드 공리들을 차원 공리를 제외하고 모두 만족시킨다. 따라서, 위상 K이론은 특수(extraordinary) 코호몰로지 이론을 이룬다. (차원 공리에 따르면  이어야 하지만, K이론에서는  이다.)

천 지표

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천 지표    위의 벡터 다발들의 가환 모노이드  로부터 짝수 차수 유리수 코호몰로지  로 가는 모노이드 준동형이다.[1]:40–45[2]:100–102 이는 그로텐디크 군 연산을 통해, 다음과 같은 환 준동형  로 확장된다. 즉,  라고 하면,

 
 
 
 

이다. 다시 말해, 천 지표는 K이론에서 코호몰로지로 가는 준동형이다. 마찬가지로, 축소 K이론에서 축소 코호몰로지로 가는 준동형   또한 존재한다.

고차 K이론의 경우에도 천 지표를 정의할 수 있다.[2]:102

 
 

이므로, 이를 사용하여 천 지표를

 

로 확장시킬 수 있다. 대부분(유한 CW 복합체)의 경우, 천 지표는    사이의 동형 사상이다. 즉, 다음과 같은 동형 사상이 성립한다.[3]:7

 
 

마찬가지로, 실수 K군의 경우 다음이 성립한다.[3]:7

 

축약 가능 공간

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하나의 점을 포함하는 공간  의 K군들은 다음과 같다.

 
 
 

K이론은 호모토피 불변량이므로, 모든 콤팩트 하우스도르프 축약 가능 공간의 K군은 1점 공간  의 K군과 같다.

이에 따라, 축소 K군의 경우

 
 

임을 알 수 있다.

초구

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초구  의 (비축소) 복소수 K군들은 다음과 같다.[1]:39

 
 
 
 

초구의 축소 복소수 K군들은 다음과 같다.

 
 

초구의 축소 실수 K군들은 다음과 같다.[4]:§3.1

 

기타 공간

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복소수 사영 공간  의 K군들은 다음과 같다.

 
 

원환면  의 K군들은 다음과 같다.

 
 

역사

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마이클 아티야프리드리히 히르체브루흐가 1950년대 말에 창시하였다.[5]

같이 보기

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각주

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  1. Zois, Ioannis P. (2010년 8월). “18 lectures on K-Theory” (영어). arXiv:1008.1346. Bibcode:2010arXiv1008.1346Z. 
  2. Hatcher, Allen (2009년 5월). 《Vector Bundles and K-Theory》 (PDF) (영어) 버전 2.1판. 
  3. Karoubi, Max (2006년 2월). “K-theory. An elementary introduction” (영어). arXiv:math/0602082. Bibcode:2006math......2082K. 
  4. Gukov, Sergei (1999). “K-theory, reality, and orbifolds” (영어). arXiv:hep-th/9901042. 
  5. Otsuka, Shu. “Correspondence Atiya ↔ Hirzebruch about K-theory” (PDF).