다음이 주어졌다고 하자.
(유한 차원) 연결 유향 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
(유한 차원) 콤팩트 리 군
G
{\displaystyle G}
G
{\displaystyle G}
주다발
G
↪
P
↠
M
{\displaystyle G\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}
유한 짝수 차원 실수 내적 공간
(
F
,
⟨
−
,
−
⟩
)
{\displaystyle (F,\langle -,-\rangle )}
G
{\displaystyle G}
ρ
:
G
→
O
(
F
)
{\displaystyle \rho \colon G\to \operatorname {O} (F)}
이로부터 연관 벡터 다발 유한 짝수 차원 벡터 다발
F
↪
E
↠
π
M
{\displaystyle F\hookrightarrow E\,{\overset {\pi }{\twoheadrightarrow }}\,M}
양의 정부호 내적이 주어진다.
P
{\displaystyle P}
주접속
∇
{\displaystyle \nabla }
이로부터
E
{\displaystyle E}
벡터 다발 접속 이 주어진다. 그렇다면,
P
×
F
{\displaystyle P\times F}
미분 형식 을 정의하자.
Φ
∇
(
E
)
|
ξ
=
1
(
2
π
)
2
m
∫
R
2
m
d
2
m
B
∫
R
2
m
d
2
m
χ
,
exp
(
S
[
ξ
,
χ
,
Ω
∇
,
B
]
)
{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{2m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}B\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B])}
S
[
ξ
,
χ
,
Ω
∇
,
B
]
=
−
B
i
B
i
/
2
+
i
ξ
i
B
i
−
χ
i
i
∇
ξ
i
+
χ
i
Ω
i
j
χ
j
/
2
{\displaystyle S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B]=-B^{i}B_{i}/2+i\xi ^{i}B_{i}-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}
여기서
i
,
j
,
…
{\displaystyle i,j,\dotsc }
F
{\displaystyle F}
F
{\displaystyle F}
ρ
i
j
(
Ω
∇
)
∈
End
(
F
)
{\displaystyle \rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\in \operatorname {End} (F)}
∇
{\displaystyle \nabla }
주곡률
Ω
∇
{\displaystyle \Omega _{\nabla }}
ρ
{\displaystyle \rho }
표현 이다.
(
ξ
1
,
…
,
ξ
2
m
)
{\displaystyle (\xi ^{1},\dotsc ,\xi ^{2m})}
F
{\displaystyle F}
데카르트 좌표계 를 이룬다. 이들의 공변 미분
∇
ξ
i
{\displaystyle \nabla \xi ^{i}}
P
×
F
{\displaystyle P\times F}
G
{\displaystyle G}
1차 미분 형식 들이다. 공변 미분의 정의에 따라, 이는
P
×
G
F
=
E
{\displaystyle P\times _{G}F=E}
1차 미분 형식 을 이룬다.
∫
d
2
m
χ
{\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} ^{2m}\chi }
2
m
{\displaystyle 2m}
반가환 변수
χ
1
,
…
,
χ
2
m
{\displaystyle \chi ^{1},\dotsc ,\chi ^{2m}}
베레진 적분 이다. 변수
χ
i
{\displaystyle \chi ^{i}}
미분 형식 과 반가환한다.
χ
i
ρ
i
j
(
Ω
∇
)
χ
j
+
i
χ
i
∇
ξ
i
{\displaystyle \chi ^{i}\rho _{ij}(\Omega _{\nabla })\chi ^{j}+\mathrm {i} \chi _{i}\nabla \xi ^{i}}
P
×
F
{\displaystyle P\times F}
지수 함수 는 미분 형식 쐐기곱 에 대한 멱급수 전개로 정의된다. 베레진 적분은 이 멱급수에서, 미분 형식 등급이
2
m
{\displaystyle 2m}
∫
d
B
{\displaystyle \textstyle \int \mathrm {d} B}
보조장
B
{\displaystyle B}
즉, 다음과 같다.
기호
설명
G
≤
O
(
F
)
{\displaystyle G\leq \operatorname {O} (F)}
가환성
P
×
F
{\displaystyle P\times F}
ξ
i
{\displaystyle \xi ^{i}}
데카르트 좌표
기본 표현
가환
0
∇
ξ
i
{\displaystyle \nabla \xi ^{i}}
데카르트 좌표
기본 표현
가환
1
χ
i
{\displaystyle \chi _{i}}
형식적 그라스만 변수
(쌍대) 기본 표현
반가환
0
ρ
i
j
(
Ω
∇
)
{\displaystyle \rho _{ij}(\Omega _{\nabla })}
주곡률
딸림표현 가환
2
B
i
{\displaystyle B_{i}}
보조장 기본 표현
가환
0
보조장
B
{\displaystyle B}
Φ
∇
(
E
)
|
ξ
=
1
(
2
π
)
m
∫
R
2
m
d
2
m
χ
,
exp
(
S
′
[
ξ
,
χ
,
Ω
∇
]
)
{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }])}
S
′
[
ξ
,
χ
,
Ω
∇
]
=
−
ξ
i
ξ
j
/
2
−
χ
i
i
∇
ξ
i
+
χ
i
Ω
i
j
χ
j
/
2
{\displaystyle S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }]=-\xi _{i}\xi ^{j}/2-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}
이 작용은 초대칭
δ
χ
i
=
B
i
{\displaystyle \delta \chi _{i}=B_{i}}
δ
ξ
i
=
∇
ξ
i
{\displaystyle \delta \xi _{i}=\nabla \xi _{i}}
δ
B
i
=
Ω
i
j
χ
j
{\displaystyle \delta B^{i}=\Omega ^{ij}\chi _{j}}
을 가지며, 이에 따라
S
=
δ
(
χ
i
(
i
ξ
i
−
B
i
/
2
)
)
{\displaystyle S=\delta (\chi _{i}(\mathrm {i} \xi ^{i}-B^{i}/2))}
이다.
베레진 적분에 의하여,
Φ
∇
(
E
)
{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)}
P
×
F
{\displaystyle P\times F}
2
m
{\displaystyle 2m}
G
{\displaystyle G}
연관 벡터 다발
E
=
P
×
G
F
{\displaystyle E=P\times _{G}F}
2
m
{\displaystyle 2m}
초대칭
δ
{\displaystyle \delta }
마타이-퀼런 형식 이라고 한다.
무한 차원에서는
m
{\displaystyle m}
양자장론 의 경로 적분 등을 사용하여 이 값을 정의할 수 있다.
초대칭 양자 역학 (드람 코호몰로지)
편집
다음과 같은 경우를 생각하자.
(
M
,
g
)
{\displaystyle (M,g)}
n
{\displaystyle n}
리만 다양체 이다.
S
β
1
=
[
0
,
β
]
/
(
0
∼
β
)
{\displaystyle \mathbb {S} _{\beta }^{1}=[0,\beta ]/(0\sim \beta )}
β
∈
R
+
{\displaystyle \beta \in \mathbb {R} ^{+}}
X
=
L
1
,
2
(
S
β
1
,
M
)
{\displaystyle X=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} _{\beta }^{1},M)}
소볼레프 공간 이다. 이는 힐베르트 다양체 이며,
M
{\displaystyle M}
고리 공간 (과 호모토피 동치 )이다. 즉, 가측 함수
f
:
S
1
→
M
{\displaystyle f\colon \mathbb {S} ^{1}\to M}
f
˙
{\displaystyle {\dot {f}}}
거의 어디서나 존재하며, L2 르베그 공간 에 속하는 것들로 구성된다.
G
{\displaystyle G}
직교군
O
(
n
)
{\displaystyle \operatorname {O} (n)}
게이지 군
{
ϕ
:
M
→
O
(
n
)
}
{\displaystyle \{\phi \colon M\to \operatorname {O} (n)\}}
P
{\displaystyle P}
리만 다양체
M
{\displaystyle M}
틀다발 로서 유도된다.
F
=
L
1
,
2
(
S
1
,
R
n
)
{\displaystyle F=\operatorname {L} ^{1,2}(\mathbb {S} ^{1},\mathbb {R} ^{n})}
ρ
{\displaystyle \rho }
함수의 합성 으로 정의된다. 이에 따라,
E
=
P
×
G
F
=
T
X
{\displaystyle E=P\times _{G}F=\mathrm {T} X}
접다발 이다.단면
s
:
X
→
E
{\displaystyle s\colon X\to E}
γ
↦
γ
˙
{\displaystyle \gamma \mapsto {\dot {\gamma }}}
상수 함수 고리들의 공간이다. 이 경우,
Z
=
(
2
π
)
−
(
dim
M
)
/
2
∫
M
Pf
(
Riem
)
=
(
2
π
)
−
(
dim
M
)
/
2
)
χ
(
M
)
{\displaystyle Z=(2\pi )^{-(\dim M)/2}\int _{M}\operatorname {Pf} (\operatorname {Riem} )=(2\pi )^{-(\dim M)/2)}\chi (M)}
을 얻는다. 이는
Ω
(
M
)
{\displaystyle \Omega (M)}
2 완비화를 힐베르트 공간으로 하는 초대칭 양자역학 의 분배 함수와 일치한다.
도널드슨 이론
편집
만약
X
{\displaystyle X}
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
G
{\displaystyle G}
주다발
P
{\displaystyle P}
주접속 들의 공간이다.
E
{\displaystyle E}
M
{\displaystyle M}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
2차 미분 형식 들의 공간이다.
s
:
F
↦
F
+
∗
F
{\displaystyle s\colon F\mapsto F+*F}
2차 미분 형식 을 자기 쌍대 성분으로 대응시킨다.이에 따라,
s
{\displaystyle s}
마타이 바르기스(말라얄람어 : മത്തായി വർഗീസ് , 영어 : Mathai Varghese )와 대니얼 퀼런 이 1986년에 도입하였다.[1] 영어 : Lisa Jeffrey )가 이 개념이 무한 차원에서 위상 양자장론 에 해당한다는 것을 증명하였다.
참고 문헌
편집
↑ Mathai, Varghese; Quillen, Daniel (1986). “Superconnections, Thom classes and equivariant differential forms”. 《Topology》 25 (1): 85–110.
![{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{2m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}B\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/798538c2a48f7bc0afe93870f0f3d5be688d33d0)
![{\displaystyle S[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla },B]=-B^{i}B_{i}/2+i\xi ^{i}B_{i}-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53fea8af442485628d1cc48f3b4e106436be43bd)
![{\displaystyle \Phi _{\nabla }(E)|_{\xi }={\frac {1}{(2\pi )^{m}}}\int _{\mathbb {R} ^{2m}}\mathrm {d} ^{2m}\chi ,\exp(S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }])}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/324ebc24ec4faa9149e45eb636fad1b981b52ce3)
![{\displaystyle S'[\xi ,\chi ,\Omega _{\nabla }]=-\xi _{i}\xi ^{j}/2-\chi _{i}\mathrm {i} \nabla \xi ^{i}+\chi _{i}\Omega ^{ij}\chi _{j}/2}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcd7d1d0056efe5c384b2903905025198f339f94)
![{\displaystyle [\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}\in \operatorname {H} ^{2m}(E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f06d3c3fe4ab211c106ae11a159fb89d440c781)
![{\displaystyle (\operatorname {e} (E)\otimes _{\mathbb {Z} }\mathbb {R} )=[\Phi _{\nabla }(E)]_{\text{dR}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/199724501f165fd013f4fa01ae832b16d9187be9)
![{\displaystyle \mathbb {S} _{\beta }^{1}=[0,\beta ]/(0\sim \beta )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94b635e8eb5e35fa51ce1b574e9896a175dd9e5d)
이 부분의 본문은 도널드슨 이론입니다.
