주 메뉴 열기

정의편집

군 스킴은 스킴 범주의 군 대상으로, 또는 특정한 함자로 정의할 수 있다.

군 대상을 통한 정의편집

스킴  가 주어졌다고 하자.   위의 군 스킴은 스킴의 범주의 조각 범주   속의 군 대상이다. 즉, 군 스킴  은 다음과 같은 데이터로 구성된다.

  •   -스킴이다.
  •   -스킴 사상이다. 이는 군의 곱셈에 해당한다.
  •   -스킴 사상이다. 이는 군의 항등원에 해당한다.
  •   -스킴 사상이다. 이는 군의 역원에 해당한다.

이들은 군 대상의 공리를 나타내는 가환 그림들을 만족시켜야 한다.

함자를 통한 정의편집

스킴   위의 군 스킴은 다음 조건을 만족시키는 함자

 

이다.

  •  표현 가능 함자이다. 즉,  가 되는  -스킴  가 존재한다.

여기서

 

구체적 범주의 망각 함자이다.

이 두 정의는 서로 동치이다. 구체적으로,   속의 군 대상  가 주어졌을 때, 표현 가능 함자  는 둘째 정의에 부합한다.

성질편집

스킴의 범주에서 위상 공간의 범주로 가는 표준적인 망각 함자

 

를 생각하자. 이는 충실한 함자가 아니며, 이 함자 아래 군 스킴은 일반적으로 위상군(또는 )을 이루지 않는다. 일반적으로 스킴의 범주의 또는 올곱곱공간(또는 곱집합)에 대응하지 않는다.

반면, 임의의  에 대하여,   위의 군 스킴   -유리점의 집합  을 취할 수 있다. 이 경우,

 

이므로, 집합   위에는 의 구조가 존재한다.

복소수체   위의 군 스킴 가운데 비특이 대수다양체를 이루는 것의 경우, 비특이 대수다양체에 대응하는 복소다양체를 취할 수 있다. 이 경우 군 스킴은 보통 대수군이라고 하며, 이에 대응하는 복소다양체는 복소수 리 군을 이룬다.

편집

곱셈 군 스킴편집

스킴   위의 군 스킴  은 스킴으로서 원점을 제거한  -아핀 직선  이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

 
 

여기서  아벨 군 의 단면군을 뜻하며,  는 구조층  가역원군층이다. 특히, 만약  아핀 스킴이라면, 그 군 스킴은  계수 로랑 다항식환스펙트럼이다.

 

이 경우, 군 이항 연산

 

은 다음과 같은  -결합 대수의 준동형에 대응한다.

 
 

마찬가지로, 항등원

 

은 다음과 같은  -결합 대수의 준동형에 대응한다.

 
 

이는 로랑 다항식환  호프 대수 구조에서 유래한다.

보다 일반적으로, 스킴   위의 일반 선형군 스킴(一般線型郡scheme, 영어: general linear group scheme)  는 함자로서 다음과 같다.

 
 

여기서  행렬환을 뜻한다. 이 경우  이다.

덧셈 군 스킴편집

스킴   위의 군 스킴  는 스킴으로서  -아핀 직선  이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

 
 

여기서  아벨 군 의 단면군을 뜻한다.

특히, 만약  아핀 스킴이라면,  이다. 이 경우, 군의 이항 연산

 

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

 
 

군의 항등원 사상

 

은 다음과 같은 환 준동형에 대응한다.

 
 

1의 거듭제곱근 군 스킴편집

양의 정수  에 대하여, 1의  제곱근 군 스킴(영어: group scheme of  th roots of unity)   제곱 사상  이다. 함자로서 이는 다음과 같다.

 
 

특히, 만약  아핀 스킴이라면,  이다.

상수 군 스킴편집

 가 주어졌다고 하자. 스킴   위의 상수 군 스킴(영어: constant group scheme)  는 스킴으로서 분리합집합  이다 (즉, 위상 공간으로서  이산 위상을 준다면  이다). 그 위의 군 스킴의 구조는  의 군 구조로부터 유도된다. 함자로서 이는 다음과 같다.

 
 

여기서   연결 성분의 집합이다. 즉, 이는 스킴을 그 연결 성분의 수만큼의 군 직접곱에 대응시킨다.

특히,  자명군인 경우, 항등 사상을 갖춘    위의 군 스킴을 이룬다. 함자로서, 이는 모든   위의 스킴을 자명군에 대응시킨다.

대각화 가능 군 스킴편집

아벨 군  가 주어졌다고 하자. 스킴   위의 대각화 가능 군 스킴(영어: diagonalizable group scheme)  는 함자로서 다음과 같다.

 
 

만약  아핀 스킴이라면,  군환  스펙트럼이다.

아핀 군 스킴편집

가환환   위의 가환 호프 대수  가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼  는 표준적으로  -군 스킴을 이룬다. 반대로,   위의 모든 아핀 군 스킴은   위의 가환 호프 대수스펙트럼과 동형이다. 이 경우, 군 스킴으로서의 연산은 호프 대수로서의 연산과 다음과 같이 대응한다.

군 스킴 호프 대수
  쌍대곱  
항등원   쌍대항등원  
역원   앤티포드  
 -스킴의 구조 사상   항등원  
대각 사상    

참고 문헌편집

외부 링크편집