다음이 주어졌다고 하자.
하우스도르프 콤팩트 공간
M
{\displaystyle M}
3차 특이 코호몰로지 류
H
∈
H
3
(
M
;
Z
)
{\displaystyle H\in \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}
임의의 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 프레드홀름 작용소 의 공간을
Fred
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
라고 하자. 이는 작용소 노름 을 통하여 거리 공간 을 이루며, 이는 0차 복소수 위상 K군 의 분류 공간 이다.
K
0
(
−
)
=
[
−
,
Fred
(
H
)
]
{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(-)=[-,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 사영 유니터리 군
1
→
C
×
id
H
→
PU
(
H
)
→
U
(
H
)
→
1
{\displaystyle 1\to \mathbb {C} ^{\times }\operatorname {id} _{\mathcal {H}}\to \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {U} ({\mathcal {H}})\to 1}
을 생각하자. 그 호모토피 유형 은 무한 순환군 의 2차 에일렌베르크-매클레인 공간
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}
이다.
PU
(
H
)
≃
K
(
Z
,
2
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\simeq \operatorname {K} (\mathbb {Z} ,2)}
따라서,
H
{\displaystyle H}
에 대응되는
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
-주다발
PU
(
H
)
↪
P
↠
M
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\hookrightarrow P\twoheadrightarrow M}
을 고를 수 있다. 그렇다면,
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
는
P
{\displaystyle P}
및
Fred
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
위의 오른쪽 군 작용 을 갖는다.
Fred
(
H
)
×
PU
(
H
)
→
Fred
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
(
A
,
[
U
]
)
↦
U
−
1
A
U
∀
U
∈
U
(
H
)
{\displaystyle (A,[U])\mapsto U^{-1}AU\qquad \forall U\in \operatorname {U} ({\mathcal {H}})}
따라서, 등변 함수
P
→
Fred
(
H
)
{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
의 개념을 정의할 수 있다.
M
{\displaystyle M}
의,
H
{\displaystyle H}
에 대한 뒤틀린 K군 은 등변 연속 함수 공간의 연결 성분 의 집합
K
(
M
,
H
)
=
[
P
H
,
Fred
(
H
)
]
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[P_{H},\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}
이다.
연관 벡터 다발
P
H
×
PU
(
H
)
Fred
(
H
)
{\displaystyle P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
를 생각하자.
M
{\displaystyle M}
의,
H
{\displaystyle H}
에 대한 뒤틀린 K군 은 그 연속 단면 의 공간의 연결 성분 의 집합이다.
K
(
M
,
H
)
=
[
M
,
P
H
×
PU
(
H
)
]
M
{\displaystyle \operatorname {K} (M,H)=[M,P_{H}\times _{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}]_{M}}
뒤틀린 K군은 아벨 군 을 이룬다. 뒤틀린 K군 사이의 다음과 같은 텐서곱이 존재한다.
K
0
(
M
;
H
)
×
K
0
(
M
;
H
′
)
→
K
0
(
M
;
H
)
×
K
0
(
M
;
H
+
H
′
)
{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H')\to \operatorname {K} ^{0}(M;H)\times \operatorname {K} ^{0}(M;H+H')}
즉, 모든 뒤틀린 K군들의 직합은 가환환 을 이룬다.
일반 위상 K이론 의 분류 공간 은 무한 차원 분해 가능 복소수 힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 즉, 어떤 위상 공간
M
{\displaystyle M}
의 0차 복소수 위상 K군 은 호모토피류로 주어진다.
K
0
(
M
)
=
[
M
,
Fred
(
H
)
]
{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[M,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]}
즉, 매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
위의 자명한
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
-주다발
P
=
M
×
PU
(
H
)
{\displaystyle P=M\times \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
을 정의하였을 때, 함수
P
→
Fred
(
H
)
{\displaystyle P\to \operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})}
가운데
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
의 작용에 대한 등변 함수 인 것들의 호모토피류들은 0차 복소수 위상 K군 과 같다.
K
0
(
M
)
=
[
P
,
Fred
(
H
)
]
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {K} ^{0}(M)=[P,\operatorname {Fred} ({\mathcal {H}})]_{\operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}}
이제, 위 구성을 자명한
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
-주다발 대신 자명하지 않은 주다발로 일반화할 수 있다. 이 경우,
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
의 사영 유니터리 군
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
은
따라서,
PU
(
H
)
{\displaystyle \operatorname {PU} ({\mathcal {H}})}
-주다발은
M
{\displaystyle M}
의 3차 코호몰로지류
H
3
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {H} ^{3}(M;\mathbb {Z} )}
로 분류된다.
막스 카루비(프랑스어 : Max Karoubi )와 피터 도노번(영어 : Peter Donovan )이 1960년대 말에 도입하였다.[3] [4]
↑ Karoubi, Max (2007). “Twisted K -theory old and new” (영어). arXiv :math/0701789 .
↑ Maldacena, Juan ; Moore, Gregory ; Seiberg, Nathan (2010). “D-brane instantons and K-theory charges” (영어). arXiv :hep-th/0108100 .
↑ Karoubi, Max (1968). “Algèbres de Clifford et K-théorie”. 《Ann. Sci. École Normal Superieur》 (프랑스어): 161–270.
↑ Donovan, Peter; Karoubi, Max (1970). “Graded Brauer groups and K -theory with local coefficients”. 《Publications Mathématiques de l’IHÉS》 (영어) 38 : 5–25.