베스-추미노-위튼 모형

이론물리학수학에서 베스-추미노-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Witten (WZW) model), 혹은 베스-추미노-노비코프-위튼 모형(영어: Wess-Zumino-Novikov-Witten model)은 간단한 2차원 등각 장론의 하나이다. 이는 비선형 시그마 모형의 일종이며, 그 과녁 공간(target space)은 (반)단순 리 군이다.

정의

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리 군 위의 제르브

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다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 리 대수 코호몰로지에 의하여,

 

임을 보일 수 있다. 그 생성원을  라고 하자. 기하학적으로, 이는   위의 표준적인 제르브를 이룬다.

구체적으로,  킬링 형식

 

및 3차 형식

 
 

을 정의하고, 이를 이를 왼쪽 평형 이동을 통해   전체에 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

여기서   마우러-카르탕 형식이다. 그렇다면, 3차 코호몰로지가 1차원이므로, 그 드람 코호몰로지는 항상  에 비례한다.

 

그렇다면,  의 표준적인 대표원인 3차 미분 형식

 

로 정의할 수 있다.

베스-추미노-위튼 작용

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임의의 (경계가 없는) 콤팩트 리만 곡면(세계면)  매끄러운 함수(스칼라장)

 

가 주어졌다고 하자. 이에 대하여, 다음과 같은 추가 데이터를 생각하자.

  •  가 되는 3차원 유향 경계다양체  
  •  가 되는 연속 함수  
  •  가 되는 2차 미분 형식  

물론, 위와 같은 데이터는 유일하지 않다. 그러나 두 개의 데이터  ,  가 주어졌을 때, 방향을 따라 이를 다음과 같이 이어붙일 수 있다.

 
 

이에 따라,  은 경계가 없는 콤팩트 3차원 유향 다양체를 이룬다. 정의에 따라서,  가 정수 계수 코호몰로지에 속하므로,

 

이다. ( 은 호몰로지류와 코호몰로지류 사이의 교곱이다.) 이에 따라, 스토크스 정리를 사용하여,

 

임을 알 수 있다.

따라서,

 

 의 선택에 상관이 없음을 알 수 있다.

이제,  에 임의의 리만 계량  를 부여하자.  베스-추미노-위튼 작용

 
 

이다. ( 의 양의 실수 스칼라배는  의 재정의로 흡수될 수 있다.)  준위(영어: level)라고 불리는 정수이다.

이를 작용으로 하는 고전 장론을 고전적 베스-추미노-위튼 모형이라고 한다.

이 작용은 지표로 다음과 같이 표기된다. 우선, 다음과 같은 지표를 정의하자.

  • 리 대수  의 지표  
  •  의 지표  
  •  의 지표  

그렇다면, 베스-추미노-위튼 작용은 다음과 같다.

 
 
 

여기서  레비-치비타 기호,  리 대수의 구조 상수다.

물론,  로 인하여 오직  만이 잘 정의될 수 있다.

보다 일반적으로, 만약 세계면   개의 구멍이 존재한다고 하자. 구멍의 경계를  이라고 할 때, 일반적으로  는 다음과 같은 1차원 복소수 힐베르트 공간의 원소이다.[1]:§3.4

 

여기서

  •  고리군   위의 특별한 복소수 선다발이며, 기하학적으로 이는 아핀 리 대수  의 실수 형식에 대응하는 리 군이다. (이는 고리군의 U(1)에 의한 중심 확대이다.)
  •   의 경곗값이다. 이는 물론 고리군의 원소를 이룬다.
  •  는 선다발  의,  에서의 올이다.
  •   위에는 표준적인 에르미트 내적이 주어져 있어, 위 표현은 복소수 힐베르트 공간을 이룬다.

만약  반단순 리 군일 경우에는 각 단순 성분에 다른 준위가 존재할 수 있다.

양자화

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베스-추미노-위튼 모형의 보존류( 인 일차장)들의 대수는 아핀 리 대수를 이룬다. 이에 따라, 베스-추미노-위튼 모형은 아핀 리 대수로 정의되는 2차원 등각 장론을 이룬다.

힐베르트 공간은 다음과 같다.

 

여기서

  •   의 복소수 유한 차원 유니터리 기약 표현들의 동형류의 집합이다. 이는 일반적으로 가산 무한 집합이다.
  •   의 표현 가운데, 이에 대응하는 무게   를 만족시키는 것이다.[1]:(49) 여기서   의 근계의 부분 순서에 대한 (유일한) 최대 원소이다. (즉, 근계  양근의 집합  에 대하여,  이다.)
  •   에 대하여,  아핀 리 대수  의 유니터리 표현이며, 이 경우 중심 원소  의 값이  가 된다.
  •  복소수 내적 공간의, 힐베르트 공간으로의 완비화이다.

이는 물론 아핀 리 대수표현을 가지며, 스가와라 구성을 통해 이는 비라소로 대수표현을 갖는다. 이 경우

 

이다. 여기서  이중 콕서터 수이다.

이는 고리군  의, 아핀 리 대수에 해당하는 복소수 선다발의 단면의 집합으로 해석할 수 있다.

예를 들어, 만약  일 때, 기약 표현은 스핀에 의하여 분류되므로

 
 

이다.

성질

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장방정식

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베스-추미노-위튼 이론의 오일러-라그랑주 방정식

 

이다.[1]:(3.18) (편의상,   위의 복소구조에 대한 미분을 사용하였다.)

천-사이먼스 이론과의 관계

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천-사이먼스 이론은 3차원 위상 양자장론이다. 만약 천-사이먼스 이론을 경계가 있는 3차원 다양체 위에 정의하면, 그 경계에는 2차원 등각 장론인 베스-추미노-위튼 모형이 존재한다.[1]:§5 천-사이먼스 이론의 상태와 베스-추미노-위튼 모형의 상태들을 대응시킬 수 있다. 이는 AdS/CFT 대응성의 단순한 경우(AdS3/CFT2)로 생각할 수 있다.[2][3] 천-사이먼스/베스-추미노-위튼 대응성은 에드워드 위튼이 1989년에 발견하였다.[4]

위와 같은 보통 베스-추미노-위튼 모형은 닫힌 끈을 나타낸다. 이 대신, 열린 끈에 대한 모형을 정의할 수도 있다. 이 경우, 정칙 진동 모드와 반정칙 진동 모드 사이에 관계를 주어야 한다.

구체적으로, 대칭류

 
 

를 생각하자. 이 경우, 조건

 

은 풀어 쓰면

 

이다. 이는

 

로 적을 수 있다. 이 경우, 킬링 형식을 사용하여,   에서의 접공간  딸림표현의 궤도에 평행한 부분 공간  과 수직한 부분 공간  으로 구분할 수 있다. 그렇다면,  에 제한하였을 때  이므로,

 

이 된다. 즉, 이는 접벡터  의, 딸림표현 궤도에 대하여 수직인 성분이 0이며, 따라서 이는 딸림표현 궤도(리 군켤레류)의 모양을 한 D막에 해당한다.[5]

이 경우, 양자 이론의 확률 진폭이 잘 정의되기 위해서는 켤레류에 대응되는 무게  정수 무게이어야 한다.[1]:§7.1 즉,  극대 원환면  을 고르고, 그 리 대수(보렐 부분 대수)가  라고 하자. 그렇다면, 무게  에 대하여, 켤레류

 

를 대응시킬 수 있다. D막이 이 켤레류에 존재할 수 있을 필요 충분 조건 정수 무게인 것, 즉  의 모든  에 대하여  인 것이다.

역사

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율리우스 베스브루노 추미노[6], 세르게이 노비코프[7], 에드워드 위튼[8][9]이 발견하였다. 비슷한 이름을 가진 베스-추미노 모형(4차원 초대칭 양자장론)과는 (발견자가 같은 것을 제외하며) 관계없는 이론이다.

각주

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  1. Gawędzki, Krzysztof (1999년 4월 21일). “Conformal field theory: a case study” (영어). arXiv:hep-th/9904145. 
  2. “Chern–Simons gauge theory and the AdS(3)/CFT(2) Correspondence” (영어). arXiv:hep-th/0403225. 
  3. “Chiral anomalies and AdS/CMT in two dimensions” (영어). arXiv:1012.4831. 
  4. Witten, Edward (1989). “Quantum field theory and the Jones polynomial”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 121 (3): 351–399. doi:10.1007/BF01217730. MR 0990772. Zbl 0667.57005. 
  5. Alekseev, Anton Yu.; Schomerus, Volker (1999). “D-branes in the WZW model” (영어). arXiv:hep-th/9812193. 
  6. Wess, Julius; Bruno Zumino (1971년 11월 1일). “Consequences of anomalous Ward identities”. 《Physics Letters B》 (영어) 37 (1): 95–97. Bibcode:1971PhLB...37...95W. doi:10.1016/0370-2693(71)90582-X. ISSN 0370-2693. 
  7. Novikov, S.P. (1981). “Multivalued functions and functionals: An analogue of Morse theory”. 《Soviet Mathematics Doklady》 (영어) 24: 222–226. ISSN 0197-6788. Zbl 0505.58011. 
  8. Witten, Edward (1983). “Global aspects of current algebra”. 《Nuclear Physics B》 (영어) 223 (2): 422–421. Bibcode:1983NuPhB.223..422W. doi:10.1016/0550-3213(83)90063-9. ISSN 0550-3213. 
  9. Witten, Edward (1984). “Non-abelian bosonization in two dimensions”. 《Communications in Mathematical Physics》 (영어) 92 (4): 455–472. doi:10.1007/BF01215276. ISSN 0010-3616. Zbl 0536.58012. 

외부 링크

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