하우스도르프 공간

일반위상수학에서 하우스도르프 공간(영어: Hausdorff space) 또는 T₂ 공간(T₂空間, 영어: T₂-space) 또는 분리 공간(分離空間, 영어: separated space)은 서로 다른 점들을 각각 서로소 근방들로 둘러쌀 수 있는 위상 공간이다.

위상 공간의 분리공리
T0	콜모고로프 공간
T1
T2	하우스도르프 공간
T2½	우리손 공간
완전 T2½	완비 하우스도르프 공간
T3	정칙 하우스도르프 공간
T3½	티호노프 공간
T4	정규 하우스도르프 공간
T5	완비 정규 하우스도르프 공간
T6	완전 정규 하우스도르프 공간

가산 조밀 부분공간을 갖는 공간에 대해서는 분해 가능 공간 문서를 참고하십시오.

정의

하우스도르프 공간의 정의. 서로 다른 두 점 $x,y$를 서로소 열린 근방 $U,V$로 구분할 수 있다.

위상 공간 $X$에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이며, 이를 만족시키는 공간을 하우스도르프 공간이라고 한다.

• 임의의 $x,y\in X$에 대하여, 만약 $x\neq y$라면 $x\in U$, $y\in V$인 서로소 열린 근방 $U,V\subseteq X$가 존재한다.^:98
• 임의의 두 콤팩트 집합 $C,D\subseteq X$에 대하여, 만약 $C$와 $D$가 서로소라면, $C\subseteq U$, $D\subseteq V$인 서로소 열린 근방 $U,V\subseteq X$가 존재한다.^:124
• 그물의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 그물 $x_{\alpha }$ 및 점 $y_{1},y_{2}\in X$에 대하여, 만약 $x_{\alpha }\to y_{1}$이며 $x_{\alpha }\to y_{2}$라면 $y_{1}=y_{2}$이다.^:86–87
• 필터의 극한은 (만약 존재한다면) 유일하다. 즉, 임의의 필터 ${\mathcal {F}}$ 및 점 $y_{1},y_{2}\in X$에 대하여, 만약 ${\mathcal {F}}\neq {\mathcal {P}}(X)$이며, ${\mathcal {F}}\to y_{1}$이며, ${\mathcal {F}}\to y_{2}$라면 $y_{1}=y_{2}$이다.^:86–87
• 임의의 $x\in X$에 대하여, $x$의 모든 닫힌 근방들의 교집합은 $\{x\}$이다.
• 곱공간 $X\times X$의 대각 부분 집합 $\Delta (X)=\{(x,x)\colon x\in X\}\subseteq X\times X$은 닫힌집합이다.
• 임의의 집합 $I$에 대하여, 곱공간 $X^{I}$의 대각 부분 집합은 닫힌집합이다.

증명 (서로 다른 정의의 동치):

각 $x\in X$에 대하여, ${\mathcal {N}}_{x}$가 $x$의 근방 필터라고 하자.

두 점의 근방 분리 ⇒ 수렴 진필터의 극한의 유일성: 진필터 ${\mathcal {F}}$가 서로 다른 두 점 $y_{1}\neq y_{2}$로 수렴한다고 가정하자. 그렇다면, 임의의 열린 근방 $U_{1}\ni y_{1}$, $U_{2}\ni y_{2}$에 대하여, $U_{1},U_{2}\in {\mathcal {F}}$이므로 $U_{1}\cap U_{2}\in {\mathcal {F}}$이며, $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$이므로 $U_{1}\cap U_{2}\neq \varnothing$이다. 즉, 서로소 열린 근방으로 분리될 수 없는 서로 다른 두 점이 존재한다.

수렴 진필터의 극한의 유일성 ⇒ 두 점의 근방 분리: 서로소 열린 근방을 갖지 않는 서로 다른 두 점 $y_{1}\neq y_{2}$가 존재한다고 가정하자. 그렇다면

${\mathcal {F}}=\{U_{1}\cap U_{2}\colon U_{1}\in {\mathcal {N}}_{y_{1}},\;U_{2}\in {\mathcal {N}}_{y_{2}}\}$

가 $X$ 위의 필터임을 보일 수 있다. 또한, 가정에 따라 $\varnothing \not \in {\mathcal {F}}$이므로 ${\mathcal {F}}$는 진필터이며, $X\in {\mathcal {N}}_{y_{1}},{\mathcal {N}}_{y_{2}}$이므로 ${\mathcal {N}}_{y_{1}},{\mathcal {N}}_{y_{2}}\subseteq {\mathcal {F}}$이다. 즉, ${\mathcal {F}}$는 서로 다른 두 점 $y_{1}\neq y_{2}$로 수렴한다.

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 US 공간(영어: US space)이라고 한다.^:262

• $X$ 속의 모든 점렬은 (만약 수렴한다면) 유일한 극한을 갖는다.

즉, 이 개념은 그물 또는 필터를 통한 정의에서 이를 점렬로 대체한 것이다.

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 KC 공간(영어: KC space)이라고 한다.^:262

• $X$의 모든 콤팩트 부분 공간은 닫힌집합이다.

위상 공간 $X$가 다음 조건을 만족시킨다면, $X$를 약한 하우스도르프 공간(영어: weakly Hausdorff space)이라고 한다.

• 하우스도르프 콤팩트 공간의 연속적 상은 항상 닫힌집합이다. 즉, 임의의 하우스도르프 콤팩트 공간 $K$ 및 연속 함수 $f\colon K\to X$에 대하여, $f$의 상 $f(K)\subseteq X$는 $X$의 닫힌집합이다.

성질

포함 관계

다음과 같은 포함 관계가 성립한다.

우리손 공간(T_2½) ⊊ 하우스도르프 공간(T₂) ⊊^{:262, Theorem 3.1} US 공간 ⊊^{:262, Theorem 3.1} KC 공간 ⊊ 약한 하우스도르프 공간 ⊊ T₁ 공간

하우스도르프 공간(T₂) ⊊ T₁ 공간 ∩ 차분한 공간

제1 가산 공간에 대하여, 다음 조건들이 서로 동치이다.

• US 공간이다.
• KC 공간이다.
• 하우스도르프 공간이다.

연산에 대한 닫힘

하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 하우스도르프 공간이다. 하우스도르프 공간의 부분 공간은 하우스도르프 공간이다. 그러나 하우스도르프 공간의 몫공간은 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간들의 집합의 곱공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 약한 하우스도르프 공간의 부분 공간은 약한 하우스도르프 공간이다. 그러나 약한 하우스도르프 공간의 몫공간은 약한 하우스도르프 공간이 아닐 수 있다.

약한 하우스도르프 공간

$X$를 약한 하우스도르프 공간이라고 하자. 콤팩트 하우스도르프 공간 $K$와 임의의 연속 함수 $f\colon K\to X$에 대하여, $f$의 상 $f(K)\subseteq X$는 콤팩트 하우스도르프 공간이다. 따라서, 부분공간 $A\subseteq X$가 k-닫힌집합일 필요충분조건은 임의의 콤팩트 하우스도르프 부분공간 $C\subseteq X$에 대하여 $A\cap C$가 닫힌집합인 것이다.

전사 사상

하우스도르프 공간를 대상으로 하고 연속 함수를 사상으로 삼은 범주 $\operatorname {Haus}$에서, 전사 사상은 상이 조밀 집합인 연속 함수이다.

증명:

$\operatorname {Haus}$에서, 조밀 집합을 상으로 하는 연속 함수는 자명하게 전사 사상이다. (조밀 집합#조밀 집합은 연속 함수를 결정한다 참고.) 반대로,

$f\colon X\to Y$

가 하우스도르프 공간 사이의 전사 사상이라고 가정하고, 상의 폐포

$Y_{0}=\operatorname {cl} f(X)$

가 $Y$임을 증명하자.

$Z=Y\cup _{i}Y$

가 포함 함수 $i\colon Y_{0}\to Y$에 대한 붙임 공간이라고 하고,

$g,h\colon Y\to Z$

가 두 개의 자연스러운 연속 함수라고 하자. (즉, $g,h$는 각각 두 개의 매장 $Y\to Y\sqcup Y$와 몫사상 $Y\sqcup Y\to Z$의 합성이다.) 붙임 공간의 정의에 따라 $g\circ f=h\circ f$임을 알 수 있다. 만약 $Z$가 하우스도르프 공간이라면, 전사 사상의 정의에 따라 $g=h$이며, 결국 $Y_{0}=Y$이게 된다. 이제 $Z$가 하우스도르프 공간임을 증명하는 일만 남았다. 붙임 공간의 정의에 따라, 다음 두 명제가 성립한다.

• $U\subseteq Z$가 열린집합일 필요충분조건은 $g^{-1}(U),h^{-1}(U)\subseteq Y$가 둘 다 열린집합인 것이다.
• $Z=g(Y)\cup h(Y)=g(Y\setminus Y_{0})\sqcup h(Y)=g(Y)\sqcup h(Y\setminus Y_{0})$

(사실, 붙임 공간의 성질과 대칭성에 따라, $g,h$는 닫힌 위상수학적 매장이며, $g\upharpoonright Y\setminus Y_{0}$과 $h\upharpoonright Y\setminus Y_{0}$은 열린 위상수학적 매장이다.) 따라서, 임의의 서로 다른 두 점 $\xi ,\eta \in Z$가 서로소 열린 근방을 가짐은 다음 세 가지 경우로 나눠 증명할 수 있다.

• $\xi ,\eta \in g(Y)$
  • 이 경우, $\xi =g(x)$, $\eta =g(y)$인 서로 다른 두 점 $x,y\in Y$이 존재한다. $Y$의 하우스도르프 조건에 따라, $U,V$가 $x,y$의 서로소 열린 근방이라고 하자. 그렇다면, $g(x),g(y)$는 다음과 같은 서로소 열린 근방 ${\tilde {U}},{\tilde {V}}$를 갖는다.

    ${\tilde {U}}={\begin{cases}g(U\setminus Y_{0})&x\in Y\setminus Y_{0}\\g(U)\cup h(U)&x\in Y_{0}\end{cases}}$

    ${\tilde {V}}={\begin{cases}h(V\setminus Y_{0})&y\in Y\setminus Y_{0}\\g(V)\cup h(V)&y\in Y_{0}\end{cases}}$

• $\xi ,\eta \in h(Y)$
  • 이 증명은 위와 유사하다.
• $\xi \in g(Y)\setminus h(Y)=g(Y\setminus Y_{0})$, $\eta \in h(Y)\setminus g(Y)=h(Y\setminus Y_{0})$
  • 이 경우, $g(Y\setminus Y_{0})$와 $h(Y\setminus Y_{0})$은 $\xi ,\eta$의 서로소 열린 근방이다.

정칙 단사 사상

하우스도르프 공간의 범주 $\operatorname {Haus}$에서, 정칙 단사 사상은 닫힌 매장이다.

증명:

하우스도르프 공간 사이의 정칙 단사 사상 $f\colon X\to Y$이 주어졌으며, $f$가 $g,h\colon Y\to Z$의 동등자라고 하자. 편의상

$X=\{y\in Y\colon g(y)=h(y)\}$

이며, $f$가 포함 함수라고 가정할 수 있다. (이는 이러한 포함 함수가 실제로 동등자를 이루며, 모든 동등자들은 서로 동형이기 때문이다.) 이 경우, $f$는 매장이며, 하우스도르프 조건에 따라 $X$는 $Y$의 닫힌집합이다. 즉, $f$는 닫힌 매장이다.

반대로, 하우스도르프 공간 사이의 닫힌 매장 $f\colon X\to Y$이 주어졌다고 하자. 편의상, $f$가 닫힌집합 $X\subseteq Y$의 포함 함수라고 하자. $f=\operatorname {eq} \{g,h\}$인 하우스도르프 공간 $Z$ 및 두 연속 함수 $g,h\colon Y\to Z$를 찾으면 족하다. $Z$가 다음과 같은 붙임 공간이라고 하자.

$Z=Y\cup _{f}Y$

그렇다면, $Z$가 하우스도르프 공간임을 #전사 사상에서의 증명과 유사하게 보일 수 있다. 자연스러운 두 연속 함수

$g,h\colon Y\to Z$

를 정의하였을 때,

$X=\{y\in Y\colon g(x)=h(x)\}$

이다. 즉, $f$는 $g,h$의 동등자이다.

예

우리손 공간이 아닌 하우스도르프 공간

양의 정수의 집합 $\mathbb {Z} ^{+}$에, 다음과 같은 기저를 주자.

$\left\{(a+\mathbb {Z} b)\cap \mathbb {Z} ^{+}\colon \gcd(a,b)=1\right\}$

이는 양의 정수의 서로소 위상(영어: relatively prime topology)이라고 한다. 이는 하우스도르프 공간이지만 우리손 공간이 아니다.

하우스도르프 공간이 아닌, 모든 수렴 점렬이 유일한 극한을 갖는 공간

하우스도르프 공간은 모든 그물 또는 필터가 유일한 극한을 갖는 공간이다. 만약 그물/필터를 점렬로 약화시킨다면, 모든 점렬이 유일한 극한을 갖지만 하우스도르프 공간이 아닌 공간이 존재한다.

하우스도르프 공간이 아닌 차분한 T₁ 공간

실수선 $\mathbb {R}$에 새로운 점 $\bullet$을 추가하고, 여기에 다음과 같은 위상을 주자.

• $\mathbb {R}$의 위상에서 열린집합 $U$는 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$에서도 열린집합이다.
• $S\subset \mathbb {R}$가 유한 집합이라면, $(\mathbb {R} \setminus S)\sqcup \{\bullet \}$은 열린집합이다.

그렇다면 $\mathbb {R} \sqcup \{\bullet \}$은 T₁ 공간이며 차분한 공간이지만 하우스도르프 공간이 아니다.

하우스도르프 공간이 아닌 KC 공간

비가산 집합에, 모든 가산 집합을 닫힌집합으로 하는 위상을 주자. 그렇다면, 이는 KC 공간이지만 (콤팩트 집합은 유한 집합과 같다) 하우스도르프 공간이 아니며 차분한 공간도 아니다.

역사

하우스도르프 조건은 펠릭스 하우스도르프가 1914년에 위상 공간의 개념을 최초로 정의할 때 포함했던 조건이다. 구체적으로, 하우스도르프의 정의는 다음과 같다^{:213, §VII.1}.

근방 공리계:

🄐 각 점 $x$는 적어도 하나 이상의 근방 $U_{x}$를 갖는다. 임의의 근방 $U_{x}$는 점 $x$를 포함한다.

🄑 $U_{x}$, $V_{x}$가 같은 점 $x$의 근방일 때, 둘의 공통적 부분 집합인 근방 $W_{x}$가 존재한다 ($W_{x}\subseteq U_{x}\cap V_{x}$).

🄒 $U_{x}$ 속의 임의의 점 $y$에 대하여, $U_{x}$의 부분 집합인 근방 $U_{y}$가 존재한다 ($U_{y}\subseteq U_{x}$).

🄓 서로 다른 두 점 $x$, $y$에 대하여, 점을 공유하지 않는 두 근방 $U_{x}$, $U_{y}$가 존재한다 ($U_{x}\cap U_{y}=\varnothing$).

Umgebungsaxiome:

🄐 Jedem Punkt $x$ entspricht mindestens eine Umgebung $U_{x}$; jede Umgebung $U_{x}$ enthält den Punkt $x$.

🄑 Sind $U_{x}$, $V_{x}$ zwei Umgebungen desselben Punktes $x$, so gibt es eine Umgebung $W_{x}$, die Teilmenge von beiden ist ($W_{x}\subseteqq {\mathfrak {D}}(U_{x},V_{x})$).

🄒 Liegt der Punkt $y$ in $U_{x}$, so gibt es eine Umgebung $U_{y}$, die Teilmenge von $U_{x}$ ist ($U_{y}\subseteqq U_{x}$).

🄓 Für zwei verschiedene Punkte $x$, $y$ gibt es zwei Umgebungen $U_{x}$, $U_{y}$ ohne gemeinsamen Punkt (${\mathfrak {D}}(U_{x},U_{y})=0$).

여기서 마지막 조건 🄓가 하우스도르프 조건이다. 이후 위상 공간의 정의는 이 조건을 포함하지 않게 되었고, 하우스도르프의 원래 정의를 추가로 만족시키는 공간은 "하우스도르프 공간"으로 불리게 되었다.

약한 하우스도르프 공간의 개념은 1969년에 마이클 캠벨 매코드(영어: Michael Campbell McCord)가 호모토피 이론에서의 편의를 위하여 도입하였다.

외부 링크

• “Hausdorff space”. 《Encyclopedia of Mathematics》 (영어). Springer-Verlag. 2001. ISBN 978-1-55608-010-4. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “T_2-space”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• Weisstein, Eric Wolfgang. “T_2-separation axiom”. 《Wolfram MathWorld》 (영어). Wolfram Research. 
• “Hausdorff space”. 《nLab》 (영어). 
• “Weakly Hausdorff topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Locally Hausdorff topological space”. 《nLab》 (영어). 
• “Hausdorff space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “KC-space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “US-space”. 《Topospaces》 (영어). 
• “Example of a weak Hausdorff space that is not Hausdorff” (영어). Math Overflow. 
• “Weak Hausdorff space not KC” (영어). StackExchange.