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미분기하학에서, 천-베유 준동형([陳]-Weil準同型, 영어: Chern–Weil homomorphism)은 리 군작용에 대하여 불변인 리 대수 변수 다항식드람 코호몰로지 동치류에 대응시키는 환 준동형이다.

목차

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.

  •  복소수 리 대수  
  •   위의 다항식환  
  •   위의  딸림표현 작용. 이에 따라  군환  왼쪽 가군을 이룬다.
     
  •  작용에 대한 불변량 부분 대수  .
     
  •  의 불변량 부분 대수는 동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
     
     
  • 동차 다항식  에 대하여, 다음 두 조건을 만족시키는 유일한  개의 변수를 갖는 함수  가 존재한다.
     
     

또한, 다음이 주어졌다고 하자.

그렇다면, 천-베유 준동형은 다음과 같은  -결합 대수 준동형이다.

 

추상적 정의편집

리 군  에 대하여, 분류 공간  를 생각하자. ( 기본군은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.

 

(복소수 계수이므로, 좌변은  기본군에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류의 차수)의 절반이다.

이에 따라,  -주다발  는 어떤 연속 함수

 

에 의하여

 

로서 주어진다. 또한, 이  코호몰로지 환등급환 준동형

 

을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면,  등급환 준동형

 

을 정의한다. 이를 천-베유 준동형이라고 한다.

콤팩트 실수 리 군  은 그 복소화와 호모토피 동치이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군을 사용해도 좋다.

구체적 정의편집

천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선,   위의 임의의 주접속을 고르고, 그 곡률

 

라고 하자. 그렇다면,  에 대하여 다음을 정의하자.

 
 

여기서 사용된 기호는 다음과 같다.

  •  주다발 전체 공간의 점
  •  는 주다발의 한 접공간  개의 벡터들
  •  순열의 부호수
  •  는 크기  대칭군

그렇다면, 다음을 보일 수 있다.

  •   -불변성에 의하여,    위의 닫힌 미분 형식이다. 즉,  이다.
  •  가 되는 유일한 미분 형식  가 존재하며, 이 또한 닫힌 미분 형식이다.
  • 또한,  는 사용된 주접속에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류  주접속에 의존하지 않는다.

이에 따라, 천-베유 준동형은 다음과 같다.

 
 

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1차 천 특성류편집

  (또는 이에 대응하는 콤팩트 군  )을 생각하자. 그 분류 공간은 무한 차원 복소수 사영 공간

 

이며, 그 유리수 계수 코호몰로지설리번 대수

 
 
 

이다.

 아벨 군이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우

 

이다.

 -주다발연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류

 

로서 주어진다.

천 특성류편집

보다 일반적으로,  -매끄러운 주다발을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.

 
 

그렇다면, 이에 대응하는 특성류천 특성류

 

이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여

 
 

 천 특성류

 

를 정의할 수 있다.

이 경우,  -주다발   대신, 이에 대한 (정의 표현에 대한) 연관 다발

 

을 사용하여

 

로 적을 수 있다.

역사편집

1940년대 말에 천싱선앙드레 베유가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,[1]:64–65, §Ⅲ.6 이 강의록의 서문에서 천싱선은 베유의 공헌을 다음과 같이 인정하였다.

나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.
I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.

 
[1]:0, §Introduction

참고 문헌편집

  1. Chern, Shiing-shen (1951). 《Topics in differential geometry》 (영어). The Institute for Advanced Study. 
  • Bott, R. (1973), “On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11: 289–303, doi:10.1016/0001-8708(73)90012-1 .
  • Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0, ISBN 3-540-90422-0.
  • Chern, S.-S.; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 .
  • Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨) .
  • Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83: 563–572, JSTOR 2372896, doi:10.2307/2372896 .
  • Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201 .

외부 링크편집