다음이 주어졌다고 하자.
그렇다면, 다음을 정의할 수 있다.
G
{\displaystyle G}
복소수 리 대수
g
=
Lie
(
G
)
{\displaystyle {\mathfrak {g}}=\operatorname {Lie} (G)}
g
{\displaystyle {\mathfrak {g}}}
다항식환
C
[
g
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}
C
[
g
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}
G
{\displaystyle G}
딸림표현 작용 . 이에 따라
C
[
g
]
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}
군환
C
[
G
]
{\displaystyle \mathbb {C} [G]}
왼쪽 가군 을 이룬다.
(
g
⋅
p
)
(
x
)
=
p
(
Ad
g
x
)
(
g
∈
G
,
p
∈
C
[
g
]
,
x
∈
g
)
{\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} _{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})}
G
{\displaystyle G}
작용 에 대한 불변량 부분 대수
C
[
g
]
G
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}
C
[
g
]
G
=
{
p
∈
C
[
g
]
:
p
=
g
⋅
p
}
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}}
G
{\displaystyle G}
동차 다항식 부분 공간들의 합으로 다음과 같이 분해된다.
C
[
g
]
G
=
⨁
k
=
0
∞
C
k
[
g
]
G
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}
p
∈
C
k
[
g
]
G
⟺
∀
λ
∈
C
,
x
∈
g
:
p
(
λ
x
)
=
λ
k
p
(
x
)
{\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)}
동차 다항식
p
∈
C
k
[
g
]
G
{\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}
k
{\displaystyle k}
p
¯
:
g
⊕
k
→
C
{\displaystyle {\bar {p}}\colon {\mathfrak {g}}^{\oplus k}\to \mathbb {C} }
p
¯
(
x
,
…
,
x
)
=
p
(
x
)
∀
x
∈
g
{\displaystyle {\bar {p}}(x,\dotsc ,x)=p(x)\qquad \forall x\in {\mathfrak {g}}}
p
¯
(
x
1
,
…
,
x
k
)
=
p
¯
(
x
σ
(
1
)
,
…
,
x
σ
(
k
)
)
∀
σ
∈
Sym
(
k
)
,
(
x
i
)
1
≤
i
≤
k
∈
g
⊕
k
{\displaystyle {\bar {p}}(x_{1},\dotsc ,x_{k})={\bar {p}}(x_{\sigma (1)},\dotsc ,x_{\sigma (k)})\qquad \forall \sigma \in \operatorname {Sym} (k),\;(x_{i})_{1\leq i\leq k}\in {\mathfrak {g}}^{\oplus k}}
또한, 다음이 주어졌다고 하자.
매끄러운 다양체
M
{\displaystyle M}
G
{\displaystyle G}
매끄러운 주다발
π
:
P
↠
M
{\displaystyle \pi \colon P\twoheadrightarrow M}
그렇다면, 천-베유 준동형 은 다음과 같은
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
결합 대수 준동형 이다.
C
[
g
]
G
→
H
∙
(
M
;
C
)
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
추상적 정의
편집
리 군
G
{\displaystyle G}
분류 공간
E
G
↠
B
G
{\displaystyle \mathrm {E} G\twoheadrightarrow \mathrm {B} G}
G
{\displaystyle G}
기본군 은 상관이 없다.) 그렇다면, 리 대수 코호몰로지 를 통해 다음이 성립함을 보일 수 있다.
H
∙
(
B
G
;
C
)
≅
C
[
g
]
G
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}
(복소수 계수이므로, 좌변은
G
{\displaystyle G}
기본군 에 더 이상 의존하지 않는다.) 이 동형에서, 우변의 등급(동차 다항식 의 차수)은 좌변의 등급(코호몰로지류 의 차수)의 절반이다.
이에 따라,
G
{\displaystyle G}
주다발
P
{\displaystyle P}
연속 함수
f
:
M
→
B
G
{\displaystyle f\colon M\to \mathrm {B} G}
에 의하여
P
=
f
∗
E
B
{\displaystyle P=f^{*}\mathrm {E} B}
로서 주어진다. 또한, 이
f
{\displaystyle f}
코호몰로지 환 의 등급환 준동형
f
∗
:
H
∙
(
B
G
;
Z
)
→
H
∙
(
M
;
Z
)
{\displaystyle f^{*}\colon \mathrm {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {Z} )\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}
을 정의한다. 이를 정수 계수 대신 복소수 계수로 취하면,
f
∗
{\displaystyle f^{*}}
등급환 준동형
C
[
g
]
G
→
H
∙
(
M
;
C
)
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
을 정의한다. 이를 천-베유 준동형 이라고 한다.
콤팩트 실수 리 군
G
{\displaystyle G}
호모토피 동치 이므로, 복소수 리 군 대신 콤팩트 실수 리 군 을 사용해도 좋다.
구체적 정의
편집
천-베유 준동형은 구체적으로 다음과 같이 주어진다. 우선,
P
{\displaystyle P}
주접속 을 고르고, 그 곡률 이
F
∈
Ω
2
(
P
;
g
)
{\displaystyle F\in \Omega ^{2}(P;{\mathfrak {g}})}
라고 하자. 그렇다면,
p
∈
C
k
[
g
]
G
{\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}
p
(
F
)
∈
Ω
2
k
(
P
;
g
)
{\displaystyle p(F)\in \Omega ^{2k}(P;{\mathfrak {g}})}
p
(
F
)
(
v
1
,
…
,
v
2
k
)
=
1
(
2
k
)
!
∑
σ
∈
Sym
(
2
k
)
(
−
)
σ
p
¯
(
F
(
v
σ
(
1
)
,
v
σ
(
2
)
)
,
…
,
F
(
v
σ
(
2
k
−
1
)
,
v
σ
(
2
k
)
)
)
{\displaystyle p(F)(v_{1},\dotsc ,v_{2k})={\frac {1}{(2k)!}}\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (2k)}(-)^{\sigma }{\bar {p}}\left(F(v_{\sigma (1)},v_{\sigma (2)}),\dotsc ,F(v_{\sigma (2k-1)},v_{\sigma (2k)})\right)}
여기서 사용된 기호는 다음과 같다.
s
∈
P
{\displaystyle s\in P}
주다발 전체 공간의 점
v
1
,
…
,
v
2
k
∈
T
s
P
{\displaystyle v_{1},\dotsc ,v_{2k}\in \mathrm {T} _{s}P}
접공간 의
2
k
{\displaystyle 2k}
(
−
)
σ
{\displaystyle (-)^{\sigma }}
순열 의 부호수
Sym
(
2
k
)
{\displaystyle \operatorname {Sym} (2k)}
(
2
k
)
!
{\displaystyle (2k)!}
대칭군 그렇다면, 다음을 보일 수 있다.
p
{\displaystyle p}
G
{\displaystyle G}
p
(
F
)
{\displaystyle p(F)}
P
{\displaystyle P}
닫힌 미분 형식 이다. 즉,
d
p
(
F
)
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} p(F)=0}
p
(
Ω
)
=
π
∗
α
F
{\displaystyle p(\Omega )=\pi ^{*}\alpha _{F}}
미분 형식
α
F
∈
Ω
2
k
(
M
;
C
)
{\displaystyle \alpha _{F}\in \Omega ^{2k}(M;\mathbb {C} )}
닫힌 미분 형식 이다.또한,
α
F
{\displaystyle \alpha _{F}}
주접속 에 의존하지만, 그 드람 코호몰로지 동치류
[
α
F
]
∈
H
∙
(
M
;
C
)
{\displaystyle [\alpha _{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
주접속 에 의존하지 않는다. 이에 따라, 천-베유 준동형 은 다음과 같다.
C
[
g
]
G
→
H
∙
(
M
;
C
)
{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}
p
↦
[
α
F
]
{\displaystyle p\mapsto [\alpha _{F}]}
1차 천 특성류
편집
GL
(
1
;
C
)
=
C
×
{\displaystyle \operatorname {GL} (1;\mathbb {C} )=\mathbb {C} ^{\times }}
U
(
1
)
{\displaystyle \operatorname {U} (1)}
분류 공간 은 무한 차원 복소수 사영 공간
B
U
(
1
)
≃
C
P
∞
{\displaystyle \mathrm {B} \operatorname {U} (1)\simeq \operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty }}
이며, 그 유리수 계수 코호몰로지 는 설리번 대수
H
∙
(
C
P
∞
;
C
)
=
Span
C
{
1
,
x
,
x
2
,
…
}
{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )=\operatorname {Span} _{\mathbb {C} }\{1,x,x^{2},\dotsc \}}
deg
x
=
2
{\displaystyle \deg x=2}
d
x
=
0
{\displaystyle \mathrm {d} x=0}
이다.
C
×
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}
아벨 군 이므로, 모든 다항식이 불변량이다. 즉, 이 경우
C
[
x
]
≅
H
∙
(
C
P
∞
;
C
)
{\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )}
이다.
C
×
{\displaystyle \mathbb {C} ^{\times }}
주다발 은 연관 벡터 다발 구성을 통하여 복소수 선다발 과 동치이며, 이 경우 천-베유 특성류는 1차 천 특성류
p
(
x
)
↦
p
(
c
1
(
F
)
)
{\displaystyle p(x)\mapsto p(\operatorname {c} _{1}(F))}
로서 주어진다.
천 특성류
편집
보다 일반적으로,
G
=
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle G=\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
매끄러운 주다발 을 생각하자. 그렇다면, 다음을 생각하자.
p
(
x
)
=
det
(
1
−
x
2
π
i
)
(
x
∈
g
l
(
n
;
C
)
)
{\displaystyle p(x)=\det \left(1-{\frac {x}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}
p
∈
C
[
g
l
(
n
;
C
)
]
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}
그렇다면, 이에 대응하는 특성류 는 총 천 특성류
c
(
P
)
∈
H
∙
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {c} (P)\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {Z} )}
이다. 물론, 이를 차수별로 분해하여
∑
k
=
0
n
t
k
p
k
(
x
)
=
det
(
1
−
t
x
2
π
i
)
(
t
∈
C
,
x
∈
g
l
(
n
;
C
)
)
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}t^{k}p_{k}(x)=\det \left(1-{\frac {tx}{2\pi \mathrm {i} }}\right)\qquad (t\in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} ))}
p
k
∈
C
k
[
g
l
(
n
;
C
)
]
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle p_{k}\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}
k
{\displaystyle k}
천 특성류
c
k
(
P
)
∈
H
2
k
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}
를 정의할 수 있다.
이 경우,
GL
(
n
;
C
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}
주다발
P
{\displaystyle P}
연관 다발
E
=
P
×
GL
(
n
;
C
)
C
n
{\displaystyle E=P\times _{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}\mathbb {C} ^{n}}
을 사용하여
c
k
(
E
)
=
c
k
(
P
)
∈
H
2
k
(
M
;
Z
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{k}(E)=\operatorname {c} _{k}(P)\in \operatorname {H} ^{2k}(M;\mathbb {Z} )}
로 적을 수 있다.
1940년대 말에 천싱선 과 앙드레 베유 가 도입하였다. 이 내용은 천싱선의 1951년 프린스턴 고등연구소 강의록에서 최초로 출판되었으며,[1] :64–65, §Ⅲ.6
“
나는 또한 앙드레 베유씨와 자주 대화를 나눌 수 있었던 특권에 대하여 언급하고 싶습니다. 그의 미출판 원고는 [천-베유 준동형을 다루는] 3장의 전개에 크게 영향을 끼쳤습니다.I wish also to acknowledge my privilege of having frequent conversations with André Weil. An unpublished manuscript of his has greatly influenced the presentation in Chapter Ⅲ.
”
참고 문헌
편집
Bott, R. (1973), “On the Chern–Weil homomorphism and the continuous cohomology of Lie groups”, 《Advances in Mathematics》 11 : 289–303, doi :10.1016/0001-8708(73)90012-1 Shiing-Shen Chern, Complex Manifolds Without Potential Theory (Springer-Verlag Press, 1995) ISBN 0-387-90422-0 , ISBN 3-540-90422-0 .
Chern, S.-S. ; Simons, J (1974), “Characteristic forms and geometric invariants”, 《Annals of Mathematics》, Second Series 99 (1): 48–69, JSTOR 1971013 Kobayashi, S.; Nomizu, K. (1963), 《Foundations of Differential Geometry, Vol. 2》 new판, Wiley-Interscience (2004에 출판됨) Narasimhan, M.; Ramanan, S. (1961), “Existence of universal connections”, 《Amer. J. Math.》 83 : 563–572, doi :10.2307/2372896 , JSTOR 2372896 Morita, Shigeyuki (2000), “Geometry of Differential Forms”, 《Translations of Mathematical Monographs》 201 외부 링크
편집
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3563c3cbd5290261925a4aa4ec588bbe134ee636)
![{\displaystyle \mathbb {C} [G]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/72c0617967677acd130f2710308f9d00a288efc5)
![{\displaystyle (g\cdot p)(x)=p(\operatorname {Ad} _{g}x)\qquad (g\in G,\;p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}],\;x\in {\mathfrak {g}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/21ef6698f35cb16203a59d7ccc893c0f7b1cf020)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/08da1e6cd1a7bed3b8b5cef0906252ec5d01987d)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\left\{p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]\colon p=g\cdot p\right\}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/62da592f291076c373789736287d293fdc7ba5aa)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}=\bigoplus _{k=0}^{\infty }\mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/92eb31e1da735347a3024601eb4b0f98bf752bc7)
![{\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}\iff \forall \lambda \in \mathbb {C} ,\;x\in {\mathfrak {g}}\colon p(\lambda x)=\lambda ^{k}p(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f8aedf3d215ef4b0ea5397ffbc60db7ba81beb3)
![{\displaystyle p\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {g}}]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16c8738a632410c5084979026b58bc8c6b276737)
![{\displaystyle \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}\to \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e61c4944282b41052a1ca482e016139680d8bab9)
![{\displaystyle \operatorname {H} ^{\bullet }(\mathrm {B} G;\mathbb {C} )\cong \mathbb {C} [{\mathfrak {g}}]^{G}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c3d061861794b00f28627293abb9687b8e9853d1)
![{\displaystyle [\alpha _{F}]\in \operatorname {H} ^{\bullet }(M;\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e790b7e127d985a6ba25a274f16b53a2a2ebcc4)
![{\displaystyle p\mapsto [\alpha _{F}]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8f9c4f9f172e4fcdd2240b603af7652e3251a069)
이 부분의 본문은 천 특성류입니다.
![{\displaystyle \mathbb {C} [x]\cong \operatorname {H} ^{\bullet }(\operatorname {\mathbb {C} P} ^{\infty };\mathbb {C} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7831a81ae53f6e0fb1a468c4fb53105d2662ad9c)
![{\displaystyle p\in \mathbb {C} [{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fbf73e154e2fedfcddcf9cf6fc862f9cf7315a0f)
![{\displaystyle p_{k}\in \mathbb {C} _{k}[{\mathfrak {gl}}(n;\mathbb {C} )]^{\operatorname {GL} (n;\mathbb {C} )}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/265368c4d270739c90b7009db2bd3746d64ff489)
