주 메뉴 열기

리 군론에서, 선형 푸아송 다양체(線型Poisson多樣體, 영어: linear Poisson manifold)는 성분이 선형인 푸아송 다양체의 구조를 갖춘 벡터 공간이다. 이는 항상 유한 차원 실수 리 대수쌍대 공간의 꼴이다. 그 심플렉틱 잎들은 쌍대딸림표현 궤도(雙對딸림表現軌道, 영어: coadjoint orbit)라고 하는데, 일부 경우 리 대수의 기약 유니터리 표현에 대응하며, 이러한 표현들은 심플렉틱 잎의 기하학적 양자화로 얻어진다.[1] 이 경우, 키릴로프 지표 공식(Кириллов指標公式, 영어: Kirillov character formula)에 따라서, 군 표현의 지표는 심플렉틱 잎의 부피를 나타내는 분포푸리에 변환으로 주어진다.

정의편집

유한 차원 실수 벡터 공간   위에 푸아송 다양체 구조  가 주어졌으며, 다음과 같은 꼴이라고 하자.

 

그렇다면, 쌍대 공간   위에 다음과 같은 리 대수 구조를 부여할 수 있다.

 

반대로, 유한 차원 실수 리 대수  가 주어졌을 때, 그 쌍대 공간   위에 다음과 같은 푸아송 다양체 구조를 정의하자. 임의의   에 대하여,

 

여기서

 

이므로, 우변에 리 괄호를 사용할 수 있다.

즉, 선형 푸아송 구조가 주어진 벡터 공간의 개념은 유한 차원 실수 리 대수(의 쌍대 공간)와 일대일 대응한다. 이러한 꼴의 푸아송 다양체를 선형 푸아송 다양체라고 한다.

성질편집

심플렉틱 잎 (쌍대딸림표현 궤도)편집

리 지수 사상에 따라  가 되는 단일 연결 리 군  를 정의할 수 있다. 그렇다면,  는 물론 리 군  표현

 

을 갖춘다. 구체적으로, 임의의   에 대하여,

 
 

이다. 여기서  딸림표현이다.

 심플렉틱 잎들은   속의,  작용에 대한 궤도에 해당한다. 이를 쌍대딸림표현 궤도(영어: coadjoint orbit)라고 한다.

멱영군의 경우편집

 연결 단일 연결 멱영 리 군이라고 하자. 그렇다면,  유니터리 기약 표현들의 집합은  의 쌍대딸림궤도들의 집합과 표준적으로 일대일 대응을 갖는다. 구체적으로, 어떤 쌍대딸림궤도  가 주어졌다고 하자. 이는 심플렉틱 다양체이며, 기하학적 양자화를 통해  유니터리 표현을 갖는 복소수 힐베르트 공간을 구성할 수 있는데, 이것이 쌍대딸림궤도에 대응하는 유니터리 기약 표현이다.

또한, 이 경우 표현  지표 부피 형식의 (분포로서의) 푸리에 변환으로 주어진다.

콤팩트 군의 경우편집

 연결 단일 연결 콤팩트 리 군이라고 하자. 그렇다면,  의 쌍대딸림표현 궤도들은  바일 방의 점과 일대일 대응한다.

콤팩트 리 군의 경우, 다음과 같은 지표 공식이 존재한다. 다음이 주어졌다고 하자.

  • 콤팩트 리 대수 (반단순 리 대수아벨 리 대수직합)  
  •  카르탕 부분 대수  
  •  양근 집합  
  • 기약 표현  
  •  최고 무게  

그렇다면,

 

가 모든 양근의 합의 절반이라고 하자. 궤도

 

심플렉틱 다양체를 이루며, 따라서 그 위에 심플렉틱 형식의 거듭제곱인 부피 형식  가 존재한다.

그렇다면, 다음이 성립한다.

 

여기서

  •  리 지수 사상  의,  에서의 야코비 행렬  행렬식이다.

고리 리 대수편집

단일 연결 반단순 리 군  리 대수  를 생각하자. 그렇다면, 매끄러운 함수로 구성된 고리 공간

 

은 표준적인 프레셰 다양체 구조를 갖는다. 이에 대응되는 프레셰 공간리 대수

 

를 생각하자. (그 위의 리 괄호는 점별로 리 괄호를 취한 것이다.) 푸리에 변환을 통하여

 

이며, 우변은 좌변의 (프레셰 공간으로의) 완비화로 간주할 수 있다.

 평행화 가능 다양체이므로, 그 방향을 골라

 

으로 놓을 수 있다. 또한,  킬링 형식을 사용하여  이므로

 

이다. 이 공간

 

은 원 위의 자명한  -주다발주접속의 공간으로 해석할 수 있다. 이 경우,  는 원 위의 게이지 변환군으로 해석할 수 있으며, 선형 푸아송 다양체   위의 작용게이지 변환에 해당한다. 즉, 그 심플렉틱 잎들은 원 위의 자명한 주다발주접속게이지 변환 동치류들의 공간  이다.

편집

아벨 리 군편집

아벨 리 대수  를 생각하자. 그렇다면,   위의 푸아송 다양체 구조는 상수 함수 0이며, 그 심플렉틱 잎은 모두 한원소 공간이다.

구체적으로,

 

이라고 하자. 이에 대응하는 단일 연결 리 군  은 (자명하게) 멱영 리 군이다. 이는 아벨 군이므로, 그 유니터리 기약 표현은 모두 1차원이며, 다음과 같은 꼴이다.

 

이 기약 표현은 점  으로 구성된 한원소 공간인 심플렉틱 잎에 대응된다. 그 지표

 

부피 형식( 에서의 디랙 델타)의 푸리에 변환이다.

SU(2)편집

 (3차원 직교군리 대수)라고 하자. 이는 3차원 벡터 공간이다. ( 반단순 리 대수이므로, 킬링 형식  에 의하여 딸림표현과 그 쌍대 표현 사이에 표준적인 동형이 존재한다.) 이 위에서 SO(3)의 궤도는 다음과 같은 꼴이다.

 

즉, 이는 음이 아닌 실수 반지름  이다. 이는  바일 방인 반직선과 일대일 대응한다.

 일 때 이는 2차원의 심플렉틱 잎을 이루며,  일 때 이는 0차원의 심플렉틱 잎을 이룬다. 2차원 심플렉틱 잎의 심플렉틱 형식은 구면 좌표계  에서

 

이다. 즉, 구면의 넓이 원소에 비례한다.

이 경우, 최고차 무게는 스핀이며, 양의 정수 × ½의 꼴이다. 유일한 양근은  에 해당하며,  이다.

이 경우, 스핀  에 대하여,

 

이며,

 

이다.

여기서 정적분

 

을 사용하였다.

이 경우, 야코비안은

 

이다.

즉, 스핀  에 대응하는 군 표현의 지표는 다음과 같다.

 

사실, 스핀  의 차원의 경우, 표현의 대각선의 성분은 구체적으로

 

가 된다. 이 경우, 기하 급수의 합을 취하면 키릴로프 지표 공식이 성립하는 것을 확인할 수 있다.

하이젠베르크 군편집

단일 연결 멱영 리 군하이젠베르크 군

 

을 생각하자. 그 실수 리 대수는 다음과 같은 꼴의 행렬로 구성된다.

 

3×3 실수 행렬의 공간 위에 내적

 

을 사용한다면,  쌍대 공간은 3×3 실수 행렬의 내적 공간   속에서 다음과 같은 직교 여공간으로 표현된다.

 

이 위의 쌍대딸림표현은 다음과 같다.

 

따라서, 그 궤도(심플렉틱 잎)는 다음 두 종류가 있다.

  •  인 점은 군의 작용고정점이다. 이 경우, 심플렉틱 잎은 0차원이다. 이는  표현 가운데, 아벨 몫군  의 표현으로 유도되는 것에 해당한다.
  •  일 때, 궤도는  의 꼴이다. 즉, 심플렉틱 잎은 2차원이며, 그 위의 심플렉틱 형식  은 2차원 유클리드 부피 형식에 비례한다. 이는  표현 가운데, 메타플렉틱 표현에 해당한다. 이 경우,  는 메타플렉틱 표현을 결정하는 중심 원소의 값에 대응한다.

역사편집

선형 푸아송 다양체의 심플렉틱 잎기약 표현 사이의 관계는 알렉산드르 알렉산드로비치 키릴로프(러시아어: Алекса́ндр Алекса́ндрович Кири́ллов, 1936〜)가 1961년에 발견하였다.[2][3]

참고 문헌편집

  1. Bernatska, Julia; Holod, Petro. “Geometry and topology of coadjoint orbits of semisimple Lie groups” (PDF) (영어). arXiv:0801.2913. 2017년 8월 14일에 원본 문서 (PDF)에서 보존된 문서. 2018년 10월 16일에 확인함. 
  2. Кириллов, Александр Александрович (1961). “Унитарные представления нильпотентных групп Ли”. 《Доклады Академии Наук СССР》 (러시아어) 138: 283–284. ISSN 0002-3264. MR 0125908. Zbl 0104.02902. 
  3. Кириллов, Александр Александрович (1962). “Унитарные представления нильпотентных групп Ли”. 《Успехи математических наук》 (러시아어) 17 (7): 57–110.  영역 Kirillov, A. A. (1962). “Unitary representations of nilpotent Lie groups”. 《Russian Mathematical Surveys》 (영어) 17 (4): 53–104. ISSN 0042-1316. MR 0142001. Zbl 0106.25001. doi:10.1070/RM1962v017n04ABEH004118. 

외부 링크편집