원주율
무리수 파이.png

(무리수)

수학적 기수법 숫자평가
10진법 3.14159265358979323846264338…
2진법 11.00100100001111110110…
16진법 3,243F6A8885A308D31319…
60진법 3; 08 29 44 00 47 25 53 07 …
근사치 227, 17957, 22371, 333106, 355113, 10399333102
수학

연분수

[3; 7, 15, 1, 292, 1, 1, 1, 2, 1, 3, 1, 14, 2, 1, 1, … ]
삼각함수 호도법= 180°
이용

원넓이  · 원둘레  · 기타 이용

특성

무리수  · 초월수

유용성

22/7보다 작음증명  · 근사값  · 값 암기

관련 인물

아르키메데스  · 유휘  · 조충지  · 윌리엄 조이스

산가마그라마의 마드하바  · 존 마친 · 존 렌치

 · 뤼돌프 판 쾰런  · 아리아바타

역사

연대기  · 원주율의 역사

해석학편집

파란색 영역의 넓이는 오일러-마스케로니 상수로, 유리수인지 아닌지는 밝혀지지 않았다.


지난 세기부터 다수의 소규모 목록들이 출현하였다.

목록 문제 수 미해결 혹은

부분적 해결 문제 수

제안자 제안 연도
힐베르트 문제[4] 23 15 다비트 힐베르트 1900
란다우 문제[5] 4 4 에드문트 란다우 1912
다니야마 문제[6] 36 - 다니야마 유타카 1955
서스턴의 24개 질문들[7][8] 24 - 윌리엄 서스턴 1982
스메일 문제 18 14 스티븐 스메일 1998
밀레니엄 문제 7 6[9] 클레이 수학연구소 2000
사이먼 문제 15 <12[10] 배리 사이먼 2000
21세기 미해결 수학 문제[11] 22 - 자이르 아베, 다나카 쇼타로 2001
DARPA 수학 문제[12][13] 23 - 미국 방위고등연구계획국 2007

일진법 소수편집

 =∑k=1 to 100 (k)/(10^((1/2)k(k+1))) =0.1020030004000050000060000007000000080000000090000000010000000000110000000000

120000000000013000000000000140000000000000150000000...

밀레니엄 문제편집

2021년 현재 밀레니엄 문제 중 푸앵카레 추측만이 해결된 상태이다.


미해결 문제1편집

∑z=1 to ∞ (1/(z^2)) ζ(2)  =

 

 =1.6449340668482264364724151666460251892189499012067984377355582293...
∑z=1 to ∞

((1)/(10^(z^2)))

1/2 (ϑ_3(0, 1/10) - 1)  =  0.1001000010000001000000001000000000010000000000001000000000000001000000000000000010000000000000000001

000000000000000000001000000000000000000000010000000000000000000000001000000000000000000000000001000000

000000000000000000000010000000000000000000000000000001000000000000000000000000000000001000000000000000.(10진수) (OEIS-A010052)

  • 이진, 16진수에서의 원주율 추출
 
 

제곱근 무리성 증명편집

  =π =  )

  • 원주율 빈도수(랜덤성)
에는 0부터 9이 균등하게 나타날 것이지만 알려지지 않아 오히려 0부터 9이 각각 무수하게 나타날지도 모른다.
만약 만일 정규 수 없다면 난수열도 아니라는 것이다. 5조 자릿수까지의 숫자의 출현 회수는 아래와 같다. 모두 엇비슷하다(약 0.0005%의 차이다), 가장 많은 것은 8이고 가장 적은 것은6이다.
원주율 빈도수(50조 자리)3, 1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, …가장 많은 것은8 가장 적은 것은6이다.
0:4999억 9897만 6328회 1:4999억 9996만 6055회 2:5000억 0070만 5108회 3:5000억 0015만 1332회 4:5000억 0026만 8680회
5:4999억 9949만 4448회 6:4999억 9893만 6471회 7:5000억 0000만 4756회 8:5000억 0121만 8003회 9:5000억 0027만 8819회


(소수의 규칙과 제타함수의 자명한 무리성)

국내에서 유일하게 리만가설 증명에 도전하고 있는 기하서 연세대 수학과 교수는 "리만가설은 일반인에게는 너무 어렵고 생소한 내용"이라며 "큰 줄기만 이해하면 수학계에서 벌어지는 일을 재미있게 즐길 수 있다"고 설명했다. 리만가설이 대체 무엇인지 큰 줄기만이라도 한번 잡아보자는 의도에서 리만가설을 가장 쉬운 언어로 풀어봤다

중학교 수학 교과서에 등장하는 소수는 '1보다 큰 자연수 중에서 1과 자기 자신만을 약수로 갖는 수'를 뜻한다. 2부터 시작해서 3, 5, 7, 11, 13, 17… 등으로 이어지는데 1과 자기 자신 외에는 나눌 수 있는 숫자가 없어 소수는 '수의 원자'라고도 부르기도 한다. 소수의 배열은 불규칙해 보인다. 2와 3 다음에 5로 이어지고 7이 됐다가 갑자기 11로 넘어간다.


겔폰트 상수와 원주율(음수와 허수)

겔폰트 상수는 대략 23.14이다. (ln 23.14 =log_e 23.14= 3.14) 원주율이랑 비슷하므로 암기하기에 쉽니다.


복소수(실수와 허수의 합의 꼴로 나타내는 수) 평면에서 리만 제타함수가 '0'이 되는 지점을 찾았다. -2, -4, -6… 등 음의 짝수들은 리만 제타함수가 0이 되는데 이를 '자명한 해'라고 한다. 그런데 리만 제타함수에는 자명하지 않은 해들이 무한개 있는데 이들은 실수부가 0과 1사이에 있고 처음 4개의 해들이 2분의 1이라는 일직선상에 있었다. 이를 확인한 뒤 리만은 "리만 제타함수의 자명하지 않은 해들이 이 일직선상에 있다"고 가정하면서 소수정리를 증명한다. 기 교수는 "리만이 논문에서 말한 이 가정이 바로 리만가설"이라고 말했다. 즉 처음 4개의 점이 일직선상에 있는 것을 확인했으니 나머지 점도 같은 직선에 있다고 가정한 것이다.

미해결 문제2편집

다음 수는 초월수인가?

 
  • 가장 쉬운원주율?
수치 수식 수치
    = 0.88622692545275801364908374167057259139877472806119356410690... (OEIS-A019704)
  • π정규수인가?
 
  =   =      (정규화  )
수식 수치
  =8.539734222673567065463550869546574495034888535765114961879601130179228611157...
  •  정규수인가?
수식 수치
  =1.15572734979092171791009318331269629912085102316441582049970653532728863184091...
  •  정규수인가?


  • 원주율 자연상수로 변환공식
수식 정규화 수치
    =2.718281828459045235360287471352662497757247093699959574966967627724076630353547594...

예시:  

챔퍼나운 원주율   =  =0.8862269254527580136490837416705725913987747280611935641069038949...
수식 수식2 수치
      =0.0010203040506070809101112131415161718192021222324252627282930313233343536...

(OEIS-A A034948)

      =0.00204060810121416182022242628303234363840424446485052545658606264666870727...

 

수식 수치
  =0.3183098861837906715377675267450287240689192914809128974953346881177935952684530...
  =  ((1/2 (ϑ_3(0, 1/10) - 1)) / (1 (ϑ_3(0, 1/10) - 1)))!
수식 수치
  ζ(2)  
  1/2 (ϑ_3(0, 1/10) - 1)

(OEIS-A010052)

0.10010000100000010000000010000000000100000000000010000000000000010000000000000000
  챔퍼나운수

(OEIS-A037213)

0.10020000300000040000000050000000000600000000000070000000000000080000000000000000


오일러-마스케로니 상수 γ의 알려진 십진 자릿수

2009년 3월 13일 29844489545 알랙산더 J. 리와 래이먼드 찬 Yee 2011, y-cruncher 2017
2013년 12월 22일 119377958182 알랙산더 J. 리 Yee 2011, y-cruncher 2017
2016년 3월 15일 160000000000 페터 트뤼프 y-cruncher 2017
2016년 5월 18일 250000000000 론 왓킨스 y-cruncher 2017
2017년 8월 23일 477511832674 론 왓킨스 y-cruncher 2017
2020년 5월 26일 600000000100 김승민과 이언 커트리스


원주율(圓周率, pi, 문화어: 원주률,  )은 원둘레와 지름의 비 즉, 지름에 대한 둘레비율을 나타내는 수학 상수이다. 수학물리학의 여러 분야에 두루 쓰인다. 그리스 문자 π로 표기하고, 파이(π)라고 읽는다.[14] 아르키메데스의 계산이 널리 알려져 있어 아르키메데스 상수(Archimedes' constant)라고 부르기도 하며, 독일에서는 1600년대 뤼돌프 판 쾰런이 소수점 이하 35자리까지 원주율을 계산한 이후 뤼돌프 수라고 부르기도 한다. 원주율은 수학에서 다루는 가장 중요한 상수 가운데 하나이다.[15]

원주율의 값은 3.141592653589...로, 순환하지 않는 무한소수(무리수)이기 때문에 근삿값으로 3.14를 사용하거나 기호 파이(π)로 사용한다.


원주율의 값편집

  값의 소수점 아래 1,000자리 수는 다음과 같다.

  값의 소수점 아래 100만 자리, 10억 자리, 1조 자리 수는 Peter Trüb의 웹사이트에서 다운로드 받을 수 있다.
3.1415926535 8979323846 2643383279 5028841971 6939937510 5820974944 5923078164 0628620899 8628034825 3421170679
8214808651 3282306647 0938446095 5058223172 5359408128 4811174502 8410270193 8521105559 6446229489 5493038196
4428810975 6659334461 2847564823 3786783165 2712019091 4564856692 3460348610 4543266482 1339360726 0249141273
7245870066 0631558817 4881520920 9628292540 9171536436 7892590360 0113305305 4882046652 1384146951 9415116094
3305727036 5759591953 0921861173 8193261179 3105118548 0744623799 6274956735 1885752724 8912279381 8301194912
9833673362 4406566430 8602139494 6395224737 1907021798 6094370277 0539217176 2931767523 8467481846 7669405132
0005681271 4526356082 7785771342 7577896091 7363717872 1468440901 2249534301 4654958537 1050792279 6892589235
4201995611 2129021960 8640344181 5981362977 4771309960 5187072113 4999999837 2978049951 0597317328 1609631859
5024459455 3469083026 4252230825 3344685035 2619311881 7101000313 7838752886 5875332083 8142061717 7669147303
5982534904 2875546873 1159562863 8823537875 9375195778 1857780532 1712268066 1300192787 6611195909 2164201989...

수학적 특성편집

원주율은 두 정수의 비로 나타낼 수 없는 무리수이다. 또한, 계수유리수다항식이 될 수 없는 초월수이다.

가장 아름다운공식편집

eπi + 1 = 0오일러의 등식

(자연로그(e) 허수 단위(i) 원주율(π) 사이의 간명한 관계를 나타내는 등식이다.)

오일러 등식(Euler's Equation, Euler's Identity)은 세상에서 가장 아름다운 공식이라고 불린다. 일본 영화 '박사가 사랑한 수식'에서 박사가 사랑한 수식이 오일러 등식이다.

오일러 등식을 아름다운 공식이라고 부르는 이유는 오일러 등식에 자연상수 e, π, 허수, 1, 0과 같은 수학에서 중요한 요소들의 상관 관계를 나타내기 때문이다. 서로 전혀 다른 요소들이 단순한 수식의 관계를 가지기 때문에 아름다운 공식이라고 부른다.

처음 보면 당연하고 흔한 수식이라고 생각할 수 있지만, 기원이 전혀 다른 자연상수 e와 π가 이와 같은 관계를 가지고 있는 것이 신기하다

겔폰트 정수  

가장 쉬운 공식편집

 

 

계산식편집

원주율 연대표
년도 공식발견 수치
1593 프랑수아 비에트  
1646 빌헬름

라이프니츠

 


위 식은 고트프리트 빌헬름 라이프니츠가 전개한 것으로 흔히 라이프니츠의 공식이라고 부른다.

이 식 외에도 원주율을 계산하는 공식으로는 다음과 같은 것이 있다.[16]

1655 윌리스 공식  
1670 인도 제임스

그레고리

 
1748 오일러의 곱셈 공식(주해)  
1700 스털링 근사  
1700 프랑스식 연분수 원주율은 다음과 같이 연분수로 표현할 수 있다.[17] 
1896 칼바르트  
1996 데이빗 베일리

피터 보어와인

시몽 플루프와

공동으로 π에 관련된 새로운 무한급수를 발견했다.

 

이 식을 이용하면 2진수 그리고 16진수로 표기한 π값의 소수점 아래 n자리 값을 n-1째 자리까지 구하지 않고

바로 계산해 낼 수 있다. 베일리의 홈페이지 에선 다양한 프로그래밍 언어를 이용해 구현한 실제 예를 볼 수 있다.

2021 구글 위키백과   , 
  (겔폰트 상수확장)
 ,   ,   (테일러급수 확장)

분수 계수열편집

연분수 계수열
 

 

 


 

분수 계수열

분수계 연분수행렬 근사치 근사치이후 소수점 표시 오차율
        − 141,59 km
        + 1,26 km
        − 83,22 m
        + 26,68 cm
        − 0,58 mm
        + 0,33 mm
 
        −( 0,4 µm)
 
        − 2,6·10−16 

원주율 진법변환편집

원주율 수치
진법 수치
십진수 3.141592653589793238462643383279502884197169399375105820974944592307816406286208998628034825342117067982148086513282306

6470938446095505822317253594081284811174502841027019385211055596446229489549303819644288109756659334461284756482337867

(10진수)

이진수 11.00100100001111110110101010001000100001011010001100001000110100110001001100011001100010100010111000000011011100000111

00110100010010100100000010010011100000100010001010011001111100110001110100000000100000101110111110101001100011101100010

(2진수)

삼진수 10.01021101222201021100211111022122222011120121212120012110010010122202221201201211121012101120022012021000010102201002

01111200022210222011001011101211012010100010002220212201100221222101122222121020220110201210222022012022221201212002011

(3진수)

사진수 3.021003331222202020112203002031030103012120220232000313001303101022100021032002020221213303013100002002323322212032301

03212302021101102200201321203203100010313132332111012123033031032210030123030002230022123133021133011003131033320103111

(4진수)

십육진수 3.243f6a8885a308d313198a2e03707344a4093822299f31d0082efa98ec4e6c89452821e638d01377be5466cf34e90c6cc0ac29b7c97c50dd3f84d5b5b

54709179216d5d98979fb1bd1310ba698dfb5ac2ffd72dbd01adfb7b8e1afed6a267e96ba7c9045f12c7f9924a19947b3916cf70801f2e2858efc1663692

0d871574e69a458fea3f4933d7e0d95748f728eb658718bcd5882154aee7b54a41dc25a59b59c30d5392af26013c5d1b023286085f0ca417918b8db38e

(16진수)

미해결 문제편집

복소 해석학편집

eπi + 1 = 0오일러의 등식 (자연로그(e) 허수 단위(i) 원주율(π) 사이의 간명한 관계를 나타내는 등식이다.)
  (오일러의 등식의 일반식)
겔폰트 정수   
  =   =  
 
  
  • 겔폰트 정리
허수지수표 ( 
   


 

그러므로 이식을 정리하면 겔폰트 정리이다.  

복소해석학 겔폰트 정수표
겔폰트 정수 쌍곡함수 수치 겔폰트 정리 수식복사(계산기 복사용) 부분합산식
    23.140692632779269...    
    0.0432139182637722...    
    -23.140692632779269...   ∑k=1 to ∞

(i^(4k-2))^(i^(4k-1))

 
    -0.0432139182637722...   ∑k=1 to ∞

(i^(4k-2))^(i^(4k-3))

 

미적분식편집

- 이용

 .

- 적분형식

 .

     =1.7724538509055160272981674833411451827975494561223871282138077898...

 

  

    
    
    
    
   [18] 

삼각함수편집

(i sin pi+ cos pi) =  = -1

(i sin x + cos x) =  

  • 역삼각함수
 π= (2 arccos0) 
 π= (2 arcsin1) 
 π= (4 arctan1) 
 π= 4(arctan(1/2)+arctan(1/3)) 
 π= 16arctan(1/5)-4arctan(1/239) 
 π= 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239)
 π= 24 arctan (1/8) + 8 arctan (1/57) + 4 arctan (1/239)
 π= 20 arctan (1/7) + 8 arctan (3/79)
 π= 20 arctan (1/7) + 8 arctan (3/79)
 π= 4 arctan(1/2) + 4 arctan(1/5) + 4 arctan(1/8)
 π= 16 arctan (1/5) - 4 arctan (1/239)
 π= 24 arctan (1/8) + 8 arctan (1/57) + 4 arctan (1/239)
 π= 20*arctan(1/7) + 8*arctan (3/79)
 π= 24*arctan(1/8) + 8*arctan(1/57) + 4*arctan(1/239)
 π= 48*arctan(1/18) + 32*arctan(1/57) - 20*arctan(1/239)
 π/4= arctan (1/2) + arctan (1/8) + arctan (1/18) + arctan (13/91)
 π/4= arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
 π/4= arctan(1/2) + arctan(1/5) + arctan(1/8)
 π/4= 3*arctan(1/4) + arctan(1/20) + arctan(1/1985)
 π/4= 22*arctan(1/28)+2*arctan(1/443)-5*arctan(1/1393)-10*arctan(1/11018)
 π/4= 44*arctan(1/57)+7*arctan(1/239)-12*arctan(1/682)+24*arctan(1/12943)

시그마 예시)   

  • [역삼각 함수](반대사인 함수)
 
  • [역삼각함수](탄젠트)
 
  • 쌍곡삼각형 (쌍곡함수)
 π=(arcsech(-1)/i) 
 π=(2i) arccsch(i) 
 π=(4arccoth(-i)/i) 
 
 
 


특수계산식편집

예시  


 

시그마 아래 부분 k=1 은 1항부터 더한다는 뜻입니다.

시그마의 윗 부분은 제 n항까지 더한다는 뜻입니다.

a(k)는 일반항을 의미합니다. 이때 시그마의 아래 부분에서 선언한 변수에 대한 일반항입니다.


 라이프니츠의 공식


오일러가 유도한 소수식(소수와 제타함수)
소수와 제타함수 수식 제타함수 수치 수학적 수치
    ζ(2)   1.64493406684822...
    ζ(2)   1.64493406684822...

역감마함수 추측

∫t=0 to -1 (ln(1/t))^(-1/2) = 

비에트 정리   수학적 수치
제곱근정리   0.63661977236758134307...
계분수정리   0.63661977236758134307..
  •  천년기도
    1735년오일러,바젤 문제,제타 함수))수식 (∑s=1 to ∞ (1/s)^2)
  •  오일러
  •  Bn 하베르누이수
  •  
  •   수식 (∑s=1 to ∞ (1/s)^4)
  •  
  •  
  •  
  •  
  • 윌리스
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  
  •  φ(k) 오일러의 φ 함수
  •  스탈링의 근사f(n) ∼ g(n)  
  •  근사값 (주현준)
  •   (라마누잔)
  •  라마누잔
     
     
       

계차수열편집

 
계차수열

 

 


  •  =  
  •  ,   ,   (테일러급수 확장)
  •   = 6.5732289895058293736605063494779463493055807301967...


  …풀릴듯 말듯 '소수'의 규칙

  •  
  •  


  •  
*  
계차수열  = =0.7853981633974483096156608458198757210492923498437764552437361480...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =0.8330405509046936713154776856363800684902415667579419168285116763...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*  
계차수열  =2.41839915231229046745877101018954097637875499745698743409317991380...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =1.2091995761561452337293855050947704881893774987284937170465899569...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =1.1107207345395915617539702475151734246536554223439225557713489017...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =1.0471975511965977461542144610931676280657231331250352736583148641...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............               ...  
*   
계차수열  =2.4183991523122904674587710101895409763787549974569874340931799138...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =3.3321622036187746852619107425455202739609662670317676673140467052...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    ............                 ...  
*   
계차수열  =5.2359877559829887307710723054658381403286156656251763682915743205...
k= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 연속곱... 연속곱
                    .....                 ...  

편집

다각형의 몫공간편집

직사각형의 한 쌍의 대변을 직사각형의 둘레를 따라 회전하는 방향을 기준으로 반대 방향을 따라 붙여 몫공간을 취하면 원기둥을 얻으며, 같은 방향을 따라 붙이면 뫼비우스의 띠를 얻는다.

그림1 그림2 몫공간
    원기둥  
    뫼비우스의 띠  

만약 어떤 위상 공간이 변의 수가 짝수인 다각형의 변을 둘씩 짝을 지어 붙여 만든 몫공간과 위상 동형이라면, 이 다각형과 동치 관계의 순서쌍을 위상 공간의 다각형 표시(多角形表示, 영어: polygonal presentation)이라고 한다. 변의 수가  인 다각형 표현은 길이  의 문자열  로 나타낼 수 있다. 각  에 대하여,   속에는  가 정확히 두 번 등장하거나   가 정확히 한 번씩 등장해야 한다. 만약  라면, 다각형의  번째 변과  번째 변을 같은 방향으로 붙인다. 만약  라면,  번째 변과  번째 변을 반대 방향으로 붙인다.

다각형 표시 그림 다각형 표시 몫공간 그림 몫공간
       
      실수 사영 평면