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선형대수학 에서 벡터 공간 (vector空間, 영어 : vector space , 문화어 :[1] [2] 선형 공간 (線型空間, 영어 : linear space )은 원소를 서로 더하거나 주어진 배수로 늘이거나 줄일 수 있는 공간이다. 체 에 대한, 가군 의 특수한 경우다. 벡터 공간의 원소를 벡터 (영어 : vector , 문화어 :[3] 노름 이 주어지지 않은 일반적인 벡터 공간에서는 벡터의 길이 자체는 정의되지 않는다.
체 K {\displaystyle K} 벡터 공간 ( V , + , ⋅ ) {\displaystyle (V,+,\cdot )} K {\displaystyle K} 가군 이다. 즉, 다음과 같은 튜플 이다.
V {\displaystyle V} 집합 이다. 이 집합의 원소를 벡터 라고 한다.+ : V × V → V {\displaystyle +\colon V\times V\to V} 함수 이다. 이 연산을 벡터 덧셈 이라고 한다.⋅ : K × V → V {\displaystyle \cdot \colon K\times V\to V} 함수 이다. 이 연산을 스칼라 곱셈 이라고 한다.이 데이터는 다음과 같은 공리 들을 만족시켜야 한다.
( V , + ) {\displaystyle (V,+)} 아벨 군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
(벡터 덧셈의 결합 법칙 ) 임의의 u , v , w ∈ V {\displaystyle u,v,w\in V} ( u + v ) + w = u + ( v + w ) {\displaystyle (u+v)+w=u+(v+w)}
(벡터 덧셈의 교환 법칙 ) 임의의 u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} u + v = v + u {\displaystyle u+v=v+u}
(벡터 덧셈의 항등원 ) 임의의 u ∈ V {\displaystyle u\in V} u + 0 = u {\displaystyle u+0=u} 0 ∈ V {\displaystyle 0\in V}
(역원의 존재) 임의의 u ∈ V {\displaystyle u\in V} − u + u = 0 {\displaystyle -u+u=0} − u ∈ V {\displaystyle -u\in V} ( V , + , ⋅ ) {\displaystyle (V,+,\cdot )} K {\displaystyle K} 가군 을 이룬다. 즉, 다음 성질들이 성립한다.
임의의 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} v ∈ V {\displaystyle v\in V} a ⋅ ( b ⋅ v ) = ( a b ) ⋅ v {\displaystyle a\cdot (b\cdot v)=(ab)\cdot v}
임의의 v ∈ V {\displaystyle v\in V} 1 ⋅ v = v {\displaystyle 1\cdot v=v} 1 ∈ K {\displaystyle 1\in K} K {\displaystyle K}
(분배 법칙 ) 임의의 a , b ∈ K {\displaystyle a,b\in K} u , v ∈ V {\displaystyle u,v\in V} ( a + b ) ⋅ ( u + v ) = a ⋅ u + b ⋅ u + a ⋅ v + b ⋅ v {\displaystyle (a+b)\cdot (u+v)=a\cdot u+b\cdot u+a\cdot v+b\cdot v} 실수체 R {\displaystyle \mathbb {R} } 실수 벡터 공간 (實數vector空間, 영어 : real vector space )이라고 하며, 복소수체 C {\displaystyle \mathbb {C} } 복소수 벡터 공간 (複素數vector空間, 영어 : complex vector space )이라고 한다.
부분 공간과 기저
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체 K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} 부분 집합 W ⊆ V {\displaystyle W\subseteq V} W {\displaystyle W} V {\displaystyle V} 부분 벡터 공간 (部分vector空間, 영어 : vector subspace )이라고 한다.
0 V ∈ W {\displaystyle 0_{V}\in W} 임의의 u , v ∈ W {\displaystyle u,v\in W} u + v ∈ W {\displaystyle u+v\in W}
임의의 a ∈ K {\displaystyle a\in K} u ∈ W {\displaystyle u\in W} a ⋅ u ∈ W {\displaystyle a\cdot u\in W} 즉, 부분 벡터 공간은 V {\displaystyle V}
벡터 공간 V {\displaystyle V} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} 생성 (영어 : span ) Span S {\displaystyle \operatorname {Span} S} S {\displaystyle S} S {\displaystyle S} s ∈ Span ( S ∖ { s } ) {\displaystyle s\in \operatorname {Span} (S\setminus \{s\})} s ∈ S {\displaystyle s\in S} S {\displaystyle S} 선형 독립 집합 기저
선택 공리 를 가정하면, 모든 벡터 공간은 하나 이상의 기저를 가지며, 모든 기저들은 항상 같은 크기 를 갖는다. 벡터 공간 V {\displaystyle V} 차원 (次元, 영어 : dimension ) dim V ∈ Card {\displaystyle \dim V\in \operatorname {Card} }
선형 변환
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두 벡터 공간 사이의 선형 변환 가역 선형 변환이 존재한다면, 그 두 벡터 공간이 서로 동형 이라고 한다. 주어진 두 벡터 공간 사이의 선형 변환의 집합은 점별 벡터 덧셈과 점별 스칼라 곱셈에 의하여 벡터 공간을 이룬다. 두 유한 차원 벡터 공간 사이의 선형 변환은 주어진 기저에 대한 행렬 로 나타낼 수 있다.
같은 체 K {\displaystyle K}
선분과 벡터 공간 체 K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} W {\displaystyle W} V {\displaystyle V} 동치 관계 를 정의할 수 있다.
v ∼ w ⟺ v − w ∈ W {\displaystyle v\sim w\iff v-w\in W} 이 동치 관계에 대한 동치류 는 다음과 같다.
[ v ] ∼ = v + W = { v + w : w ∈ W } ( v ∈ V ) {\displaystyle [v]_{\sim }=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad (v\in V)} 몫공간 (몫空間, 영어 : quotient space ) V / W {\displaystyle V/W} 몫집합 (=동치류들의 집합)이다.
V / W = { v + W : v ∈ V } {\displaystyle V/W=\{v+W\colon v\in V\}} 그 위의 벡터 공간 연산은 다음과 같다.
( v + W ) + ( w + W ) = ( v + w ) + W {\displaystyle (v+W)+(w+W)=(v+w)+W} a ⋅ ( v + W ) = a ⋅ v + W {\displaystyle a\cdot (v+W)=a\cdot v+W} 이 정의는 동치류의 대표원을 선택하는 방식과 무관하다. 또한, 이들 연산은 집합으로서의 연산과 일치하지 않는다.
이 부분의 본문은
직접곱 입니다.
K {\displaystyle K} { V i } i ∈ I {\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}} 직접곱
∏ i ∈ I V i {\displaystyle \prod _{i\in I}V_{i}} 은 집합으로서 V i {\displaystyle V_{i}} 곱집합 이다. 이 위에는 자연스러운 K {\displaystyle K}
( a i ) i ∈ I + ( b i ) i ∈ I = ( a i + b i ) i ∈ I {\displaystyle (a_{i})_{i\in I}+(b_{i})_{i\in I}=(a_{i}+b_{i})_{i\in I}} c ⋅ ( a i ) i ∈ I = ( c ⋅ a i ) i ∈ I {\displaystyle c\cdot (a_{i})_{i\in I}=(c\cdot a_{i})_{i\in I}} 이는 벡터 공간의 범주에서의 곱 이며, 대수 구조 로서의 직접곱 이다. 즉, 자연스러운 사영 사상
π i : ∏ i ∈ I V i → V i {\displaystyle \pi _{i}\colon \prod _{i\in I}V_{i}\to V_{i}} 이 존재하며, 이는 선형 변환 을 이룬다.
이 부분의 본문은
직합 입니다.
K {\displaystyle K} { V i } i ∈ I {\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}} 직합
⨁ i ∈ I V i = { a ∈ ∏ i ∈ I V i : | { i ∈ I : a i ≠ 0 } | < ℵ 0 } ⊆ ∏ i ∈ I V i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\left\{a\in \prod _{i\in I}V_{i}\colon |\{i\in I\colon a_{i}\neq 0\}|<\aleph _{0}\right\}\subseteq \prod _{i\in I}V_{i}} 즉, 직접곱에서, 오직 유한 개의 성분만 0이 아닌 원소들로 구성된 부분 집합이다. 이는 벡터 공간의 범주에서의 쌍대곱 이며, 가군의 직합 의 특수한 경우이다. 즉, 자연스러운 포함 사상
ι i : V i ↪ ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle \iota _{i}\colon V_{i}\hookrightarrow \bigoplus _{i\in I}V_{i}} 가 존재하며, 따라서 각 V i {\displaystyle V_{i}} ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
유한 직합은 직접곱과 같으나, 무한 직합은 일반적으로 직접곱의 부분 공간이다. 만약 S i ⊂ V i {\displaystyle S_{i}\subset V_{i}} V i {\displaystyle V_{i}} 기저 라면,
⋃ i ∈ I ι i ( S i ) ⊂ ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle \bigcup _{i\in I}\iota _{i}(S_{i})\subset \bigoplus _{i\in I}V_{i}} 는 ⨁ i ∈ I V i {\displaystyle \bigoplus _{i\in I}V_{i}}
dim ⨁ i ∈ I V i = ∑ i ∈ I dim V i {\displaystyle \dim \bigoplus _{i\in I}V_{i}=\sum _{i\in I}\dim V_{i}} 이다. 여기서 우변은 기수 의 합이다.
K {\displaystyle K} { V i } i ∈ I {\displaystyle \{V_{i}\}_{i\in I}} 텐서곱
⨂ i ∈ I V i = Free ( ∏ i ∈ I V i ) / ∼ {\displaystyle \bigotimes _{i\in I}V_{i}=\operatorname {Free} \left(\prod _{i\in I}V_{i}\right)/\sim } 이 존재한다. 이는 자연스러운 다중 선형 사상
ϕ : ∏ i ∈ I V i → ⨂ i ∈ I V i {\displaystyle \phi \colon \prod _{i\in I}V_{i}\to \bigotimes _{i\in I}V_{i}} 을 가지며, 또한 임의의 다른 다중 선형 사상
χ = ∏ i ∈ I V i → W {\displaystyle \chi =\prod _{i\in I}V_{i}\to W} 이 주어졌을 때, 유일한 선형 사상
χ ~ : ⨂ i ∈ I V i → W {\displaystyle {\tilde {\chi }}\colon \bigotimes _{i\in I}V_{i}\to W} χ ~ ∘ ϕ = χ {\displaystyle {\tilde {\chi }}\circ \phi =\chi } 가 존재한다. 텐서곱은 이 보편 성질 로부터 유일하게 정의되며, 또 항상 존재한다.[4]
임의의 두 벡터 공간 V {\displaystyle V} W {\displaystyle W}
dim ( V ⊗ W ) = dim V ⋅ dim W {\displaystyle \dim(V\otimes W)=\dim V\cdot \dim W} 여기서 ⋅ {\displaystyle \cdot } 기수 의 곱셈이다.
체 K {\displaystyle K} K {\displaystyle K}
즉, 체 위에서는 모든 가군 이 자유 가군 이 된다.
집합론적 성질
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체 K {\displaystyle K} V {\displaystyle V} 집합의 크기 는 다음과 같다.
| V | = { | K | dim K V κ < ℵ 0 max { | K | , dim K V } κ ≥ ℵ 0 {\displaystyle |V|={\begin{cases}|K|^{\dim _{K}V}&\kappa <\aleph _{0}\\\max\{|K|,\dim _{K}V\}&\kappa \geq \aleph _{0}\end{cases}}} 범주론적 성질
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체 K {\displaystyle K} 선형 변환 들은 범주 를 이루며, Vect K {\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}} 아벨 범주 의 대표적인 예이다. Vect K {\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}}
완비 범주 이며, 쌍대 완비 범주 이다.
곱 은 (아벨 군으로서의) 직접곱 이며, 쌍대곱 은 (아벨 군으로서의) 직합 이다.(유한) 곱 과 쌍대곱 이 일치한다.
영 대상 은 0차원 벡터 공간 { 0 } {\displaystyle \{0\}} 직합 말고도, 텐서곱 V ⊗ W {\displaystyle V\otimes W} Vect K {\displaystyle \operatorname {Vect} _{K}} 대칭 모노이드 범주 를 이룬다. 텐서곱의 항등원은 1차원 벡터 공간 K {\displaystyle K}
집합으로의 망각 함자 F : Vect K → Set {\displaystyle F\colon \operatorname {Vect} _{K}\to \operatorname {Set} } ( V , + , ⋅ ) ↦ V {\displaystyle (V,+,\cdot )\mapsto V} 구체적 범주 를 이룬다. 망각 함자는 왼쪽 수반 함자 Span ⊣ F {\displaystyle \operatorname {Span} \dashv F} Span {\displaystyle \operatorname {Span} } S {\displaystyle S} | S | {\displaystyle |S|} 모형 이론적 성질
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모형 이론 의 관점에서, 체 K {\displaystyle K} 대수 구조 로 나타낼 수 있다. 이 경우, 벡터 공간의 언어는 다음과 같은 연산을 갖는다.
0항 연산 0 {\displaystyle 0} 영벡터 )
각 a ∈ K {\displaystyle a\in K} a ⋅ {\displaystyle a\cdot }
2항 연산 + {\displaystyle +} 즉, 만약 K {\displaystyle K} 대수 구조 다양체 를 이룬다. 벡터 공간의 준동형 은 선형 변환 이며, 벡터 공간의 부분 대수는 부분 벡터 공간이다. 합동 관계 는 부분 벡터 공간과 일대일 대응 하며, 주어진 합동 관계에 대응하는 부분 공간은 0과 합동인 벡터들의 집합이다. 특이하게도, 모든 벡터 공간은 자유 대수이다.
유클리드 공간 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} n {\displaystyle n} 체 K {\displaystyle K} m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 의 집합은 m n {\displaystyle mn} K {\displaystyle K}
임의의 위상 공간 X {\displaystyle X} 연속 실함수의 집합 C ( X , R ) {\displaystyle {\mathcal {C}}(X,\mathbb {R} )}
체 K {\displaystyle K} X {\displaystyle X} X {\displaystyle X} V {\displaystyle V} f : X → V {\displaystyle f\colon X\to V} F {\displaystyle F} V {\displaystyle V} | X | {\displaystyle |X|} 직접곱 V × | X | {\displaystyle V^{\times |X|}}
체 K {\displaystyle K} 다항식환 K [ x ] {\displaystyle K[x]} 형식적 거듭제곱 급수 환 F [ [ x ] ] {\displaystyle F[[x]]} K {\displaystyle K}
임의의 체의 확대 L / K {\displaystyle L/K} L {\displaystyle L} K {\displaystyle K} 유한체 F p n {\displaystyle \mathbb {F} _{p^{n}}} F p {\displaystyle \mathbb {F} _{p}} n {\displaystyle n} C {\displaystyle \mathbb {C} } R {\displaystyle \mathbb {R} } R {\displaystyle \mathbb {R} } Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 2 ℵ 0 {\displaystyle 2^{\aleph _{0}}} 모든 대수적 수체 는 Q {\displaystyle \mathbb {Q} } 관련 개념
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같이 보기
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참고 문헌
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외부 링크
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![{\displaystyle [v]_{\sim }=v+W=\{v+w\colon w\in W\}\qquad (v\in V)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e89532f134c9b731f111e9ae6565f7d6b8368af)
![{\displaystyle K[x]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8a9e6c2ac2830d6a9abe078b47450777c41d69a9)
![{\displaystyle F[[x]]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fef5b0ebc9d37ad4cdc4048b314a1832bb0b0a18)
