트위스터 공간

수학에서 트위스터 방정식의 해들로 이뤄진 복소선형공간

수학에서, 트위스터 공간(twistor空間, 영어: twistor space)은 트위스터 방정식 의 해들로 이뤄진 복소선형공간이다. 1960년대에 로저 펜로즈와 말콤 맥콜럼(Malcolm MacCallum)이 묘사하였다.[1]

민코프스키 공간에 대해 트위스터 방정식의 해들은 다음과 같은 형태이다:

여기서 는 두 상수 바일 스피너들이고 민코프스키 공간의 한 점이다. 트위스터 공간은 4차원 민코프스키 공간등각 대칭을 자명하게 드러내는 한 방법이기도 하다.[2][3][4]

엔드류 호지스에 따르면, 트위스터 공간은 복소수 4개를 가지고 광자의 움직임을 개념화 하는데 유용하다고 한다. 또한 트위스터 공간은 약한 상호작용의 비대칭성을 이해하는데 도움을 줄지 모른다고 한다.[5]

정의편집

트위스터 공간은 다양한 시공간 차원에 대하여 정의될 수 있다.

4차원 트위스터 공간편집

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
    • 수리물리학에서는   또는  인 경우만 생각한다.
  • 2차원  -벡터 공간  ,  
    • 수리물리학에서, 이는 왼쪽·오른쪽 바일 스피너 ( 인 경우) 또는 왼쪽·오른쪽 마요라나-바일 스피너( 인 경우)에 해당한다.

그렇다면, 4차원  -벡터 공간

 

을 정의할 수 있다. (물리학적으로, 이는 [복소화한] 시공간에 해당한다.) 그 위에는 비퇴화 이차 형식

 

이 존재한다. ( 인 경우 이는 부호수 (2,2)를 가진다.)   위에는  작용하며, 이 가운데  의 작용은  를 보존한다. 즉, 이는 동형 사상

 

을 정의한다. 사실, 4차원 벡터 공간  를 이렇게 2차원 벡터 공간의 텐서곱으로 나타내는 구조는   위의 선형 등각 구조와 동치이다.

설명:

구체적으로,  에 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조  를 주었을 때 비퇴화 쌍선형 형식

 
 

을 정의할 수 있다.   위의 심플렉틱 벡터 공간 구조들은 모두 서로 비례하며, 이에 따라 등각 계량 동치류  는 잘 정의된다.

반대로,   위에 등각 계량이 주어졌을 때, 이를 사용하여 직교군  을 정의할 수 있다. 리 군 표현론에 의하여  의 4차원 표현  는 두 바일 스피너 표현의 텐서곱으로 주어지며, 이 두 공간이  에 해당한다.

이제, 다음과 같은 공간을 생각하자.

 

이 5차원 비특이 대수다양체  대응 공간(對應空間, 영어: correspondence space)이라고 한다. 그 국소 좌표는

 

로 쓸 수 있다. 여기서   의 지표이며,   의 지표이다.

그렇다면,  와 그 쌍대 공간   사이의 쌍대성으로 인하여 다음과 같은 사영 사상이 유도된다.

 
 

이 함수는 전사 함수가 아니며, 그 상은 다음과 같다.

 

이는 3차원 복소수 사영 공간 속의 열린 부분 스킴을 이루며, 그 여집합 이다. 즉,  는 3차원 준사영 대수다양체를 이룬다. 이를 트위스터 공간이라고 하며, 그 속의 임의의 원소  트위스터(영어: twistor)라고 한다.

이는 사영 사상

 
 

을 가지며, 이 사영 아래    위의 2차원 벡터 다발

 

의 전체 공간과 동형이다.

즉, 대응 공간  는 (복소화) 시공간과 트위스터 공간 둘 다 위의 올다발을 이룬다.

 

앰비트위스터편집

왼쪽·오른쪽 바일 스피너를 고르는 대신, 둘 다 사용할 수 있다. 이 경우 더 큰 트위스터 공간을 얻으며, 이를 앰비트위스터 공간(영어: ambitwistor space)이라고 한다.

구체적으로, 대응 공간

 

을 생각하자. 그렇다면, 이는 사상

 
 

을 정의한다. 그 상은

 
 
 

를 따른다. 즉, 이는 두 3차원 사영 공간의 곱공간 속의 이차 초곡면이다. 이 5차원 초곡면  앰비트위스터 공간이라고 한다. 앰비트위스터 공간은 물론 왼쪽 또는 오른쪽 트위스터 공간  으로의 사영 사상

 

을 갖는다.

또한, 이로부터 다음과 같은 사영 사상이 존재한다.

 
 

그 상은 4차원 사영 공간   속에서

 

으로 정의되는 3차원 이차 초곡면이다. 이  초평면 트위스터 공간(영어: hyperplane twistor space)이라고 한다.[6] 이는 세그레 사상

 

을 통하여, 사실   위의 선다발

 

의 전체 공간과 같다.

6차원 트위스터 공간편집

다른 차원에서도 유사하게 트위스터 공간을 구성할 수 있다. 예를 들어, 6차원을 생각하자. 즉, 다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  • 4차원  -벡터 공간   (6차원 마요라나-바일 스피너)

그렇다면

 

를 정의하면,   위에는  가 작용한다.   위에는 비퇴화 이차 형식

 

이 작용하며, 이에 대하여 불변이다. (여기서  레비치비타 기호이다.  일 때 이는 부호수 (3,3)를 가진다.) 이는 동형 사상

 

에서 유래한다.

이 경우, 마찬가지로 공간

 

은 다음과 같은 사영 사상을 갖는다.

 
 

이는 마찬가지로  의 부분 집합이다. 그런데

 

이므로, 그 상은

 

이다. 이는 6차원 준사영 대수다양체이다. 이 공간  를 6차원 공간의 트위스터 공간이라고 하며, 그 원소  트위스터라고 한다.  는 3차원 사영 공간   위의 3차원 벡터 다발을 이룬다. 이는 4차원 벡터 다발

 

의 부분 다발이며, 짧은 완전열

 

을 따른다.[6]:(3.9)

 

3차원 트위스터 공간편집

3차원에서도 마찬가지로 트위스터 공간을 정의할 수 있다. 이 경우의 트위스터 공간은 간혹 미니트위스터 공간(영어: minitwistor space)라고 한다.

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  • 2차원  -벡터 공간   (3차원 [마요라나-]바일 스피너의 공간)

그렇다면 3차원 벡터 공간

 

를 정의할 수 있다.

 이므로,   위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례한다. 임의의 심플렉틱 벡터 공간 구조  를 고른다면,  는 딸림표현  와 동형이며, 이는 킬링 형식을 갖춘다. 이는 2×2 행렬의 행렬식에 비례한다. ( 일 때,   위의 이차 형식의 부호수는 (2,1)이므로, 이는 3차원 민코프스키 공간이다.) 즉, 이는 동형 사상

 

을 실현한다. 물론, 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조를  와 같이 바꾸더라도, 우변에서 이는 이차 형식을 스칼라배 재정의하는 것에 불과하므로, 우변은 사용한 심플렉틱 벡터 공간 구조에 불변이다.

이 경우, 대응 공간

 

으로부터, 다음과 같은 사상을 정의할 수 있다.

 
 

여기서  는 1등급 성분이  이며 2등급 성분이  등급 벡터 공간이며, 이에 대하여 가중 사영 공간을 취할 수 있다. 이 사상의 상을 트위스터 공간  라고 한다. 이는 2차원 준사영 대수다양체이다.

즉, 이는 가중 사영 공간의 열린집합을 정의한다. 사실, 사영 사상

 
 

에 대하여, 이는 선다발을 이룬다. 그 단면   에 대한 2차 함수이므로, 이는 선다발  에 해당한다. 이는 사실 사영 직선 위의 접다발에 해당한다. 즉,  이다.

가중 사영 공간은 물론 다음과 같이 4차원 사영 공간으로 매장된다.

 
 

즉,  는 4차원 사영 공간 속의 2차원 준사영 대수다양체이다.

 

성질편집

시공간과 트위스터 공간 사이의 관계편집

4차원편집

4차원 트위스터 공간

 

을 생각하자.

이 경우, 시공간  와 트위스터 공간   사이에 다음과 같은 대응이 존재한다.

시공간 트위스터 공간 대응에 대한 설명
복소수 사영 직선

설명:

복소화 시공간의 임의의 점  에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간  는 다음과 같다.

 

이는 트위스터 공간의 한 사영 직선  에 해당한다. 즉, 시공간의 점은 트위스터 공간에서의 직선에 대응한다.

영평면

설명:

복소화 시공간의 임의의 두 점  이 트위스터 공간의 같은 점  에 대응된다고 하자.

 
 

그렇다면

 

이다.  이므로, 이것이 성립할 필요 충분 조건은 어떤  에 대하여

 

인 것이다. 즉,  에 대응하는 시공간의 점들은

 

의 꼴이다. 이는 (2차원) 평면을 이루며, 정의에 따라서 이는 영평면이다.

등각 구조 (빛원뿔 집합) 복소구조 (사영 직선의 집합)
  의 차의 노름이 0 사영 직선이 서로 교차

설명:

시공간의 두 점  에 대응하는 직선이 서로 교차할 필요 충분 조건

 

이다. 그런데

 

이 되려면,

 

가 되어야 함을 보일 수 있다. 이 조건은 사실

 

인 것과 동치이다. 물리학적으로, 이는  가 (적절한 실수 조건을 가했을 때)  빛원뿔 위에 위치함을 뜻한다.

위 표에서 영평면(零平面, 영어: null plane)이란 (원점을 지나지 않을 수 있는) 2차원 평면   가운데, 임의의 두 점  에 대하여  인 것이다.

사실, 이는 근본적으로 다음과 같은 성질에서 기인한다. 우선, 4차원 벡터 공간 속의 2차원 그라스만 다양체

 

를 생각하자. 그 속의 닫힌점은 사영 공간   속의 사영 직선에 대응한다. 즉,    속의 사영 직선모듈라이 공간이다. 이제, 계수를 복소수체로 잡으면, 복소다양체  에 적절한 ‘실수 형식’을 주면, 이는 4차원 초구  가 된다. 즉,  의 점은 트위스터 공간 속의 직선을 정의한다. 여기서 포함 사상은  의 선택에 의하여 유도되는 포함 관계  이다. (여기서  사원수 대수이다.)

3차원편집

3차원 트위스터 공간

 

을 생각하자. 복소화 시공간의 임의의 점  에 대응하는 트위스터 공간의 부분 공간  는 다음과 같다.

 

이는 트위스터 공간의 한 사영 직선  에 해당한다. 또한, 이는 사영 사상   아래 각  에 대하여 정확히 하나의 점을 포함하므로, 이는  단면을 이룬다. 즉, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

 

물론, 우변은 리만-로흐 정리를 통해 3차원임을 쉽게 계산할 수 있다.

임의의 두 점

 

에 대응되는 단면

 

이 주어졌을 때, 이를  의 전체 공간의 부분 공간으로 간주할 때, 이는 정확히 두 개의 점에서 교차한다. 이것이   위에 있다고 하자. 그렇다면

 

이 된다. 이것이 가능할 필요 충분 조건

 

이다. 즉, (4차원과 달리) 3차원에서는 임의의 벡터는 스피너의 대칭화 텐서곱으로 표현될 수 있다. 특히,  일 필요 충분 조건은  인 것이다.

트위스터 공간의 한 점  에 대응되는 두 시공간의 점  에 대하여,

 
 

이다. 즉

 

이다. 이는 3개의 변수에 대하여 하나의 방정식이므로, 3차원 시공간 속의 어떤 평면을 정의한다. 또한,    위의 계량을 정의하는 것으로 여기면,  는 그 영벡터를 이루며, 따라서  를 포함하는  의 어떤 기저에 대하여

 

의 꼴이다. 즉, 이 평면을 정의하는 두 선형 독립 접벡터는 다음과 같다.

 

여기서 첫 벡터는 노름이 0이며, 둘째 벡터는 첫째 벡터와 직교한다(즉, 첫째 벡터와의 내적이 0이다). 이러한 평면을 영평면(영어: null plane)이라고 한다. 물리학적으로, 이는 빛원뿔과 접하는 평면으로 해석할 수 있다.

3차원 시공간 미니트위스터 공간
사영 직선 위의 대수적 벡터장
빛원뿔과 접하는 평면
벡터의 스피너로의 분해 두 벡터장이 같은 점을 갖게 되는 두 점
노름이 0인 벡터 같은 점을 갖게 되는 점이 이중점

펜로즈 변환편집

 라고 하자.   위에서, 매끄러운 함수

 

에 대하여 다음과 같은 선형 편미분 방정식을 정의할 수 있다.

 

이 선형 1차 편미분 방정식의 해를 나선도  의 영질량장(영어: zero-rest-mass field of helicity  )이라고 한다. 마찬가지로, 매끄러운 함수

 

에 대하여 선형 1차 편미분 방정식

 

의 해를 나선도  의 영질량장(영어: zero-rest-mass field of helicity  )이라고 한다.  일 때는, 우선  에 각각 심플렉틱 벡터 공간 구조  ,  를 부여하자. 그렇다면 2차 미분 연산자

 

를 정의할 수 있다. 그렇다면, 나선도 0의 영질량장매끄러운 함수

 

가운데

 

을 따르는 것이다. 2차원 벡터 공간 위의 심플렉틱 벡터 공간 구조는 모두 서로 비례하므로, 만약 다른 심플렉틱 벡터 공간 구조를 사용하더라도 나선도 0의 영질량장의 개념은 잘 정의된다. 나선도  의 영질량장의  -벡터 공간

 

라고 하자.

이제, 4차원 트위스터 공간

 

을 생각하자. 임의의 열린집합

 

에 대하여,

 

라고 하자. 그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

 

즉, 트위스터 공간 위의  선다발의 정칙 단면은 시공간 위의, 나선도  의 영질량장과 일대일 대응한다. 이를 펜로즈 변환(영어: Penrose transform)이라고 한다.

순간자 모듈러스 공간편집

임의의 콤팩트 반단순 리 군  에 대하여, 4차원 유클리드 공간   위의  -양-밀스 이론순간자

 

를 생각하자. 이 경우, 유클리드 공간을 복소화하여 4차원 복소수 벡터 공간  을 취할 수 있다. 이 경우에도 자기 쌍대성 조건은 여전히 유효하다. 이 경우,   위의 순간자의 모듈라이 공간은 순간자 공간   위의 정칙  -주다발 가운데 ① 위상적으로 자명하며 ② 임의의 포함 사상  에 제한하였을 때 정칙적으로 자명한 것들의 모듈라이 공간과 표준적으로 동형이다.[7]:Theorem 4.1 이 대응을 펜로즈-워드 변환(영어: Penrose–Ward transform)이라고 한다.

구체적으로, 사영 직선  는 두 개의 아핀 직선으로 구성된 열린 덮개를 가지며, 따라서 그 위의 벡터 다발  는 두 개의 3차원 아핀 공간  ,  로 구성된 열린 덮개를 갖는다. 위의 조건들을 따르는  -주다발  는 따라서 전이 함수

 

로 주어진다.

사영 사상   아래,    열린 덮개를 이룬다.   열린 덮개를 이루므로, 항상

 
 
 

으로 표현될 수 있다.   위에는 표준적인 벡터장

 
 

이 존재하며, 이에 따라

 

 

를 따른다. 즉,

 

이다. 이를 짜깁기하여  를 다음과 같이 정의할 수 있다.

 

  에 비례하며,   에 비례하므로,   위의  값의 1차 미분 형식

 
 

을 정의할 수 있다. 그렇다면 이는   위의 순간자를 정의하는 주접속을 이룬다.

역사편집

1967년에 로저 펜로즈가 4차원 시공간의 트위스터 공간을 최초로 도입하였다.[8] 이후 펜로즈는 파동 방정식의 해와 트위스터 공간 위의 선다발층 코호몰로지 사의 펜로즈 변환을 발견하였다.[9][10] 1977년에 리처드 새뮤얼 워드(영어: Richard Samuel Ward, 1951〜)가 양-밀스 이론순간자를 트위스터 공간으로 나타내는 펜로즈-워드 변환을 발견하였다.[11]

참고 문헌편집

  1. R. Penrose and M. A. H. MacCallum, Twistor theory: An approach to the quantisation of fields and space-time. doi 10.1016/0370-1573(73)90008-2
  2. Wolf, Martin (2010년 10월 1일). “A first course on twistors, integrability and gluon scattering amplitudes”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 43 (39): 393001. arXiv:1001.3871. Bibcode:2010JPhA...43M3001W. doi:10.1088/1751-8113/43/39/393001. 
  3. Dunajski, Maciej (2009년 10월 9일). “Twistor theory and differential equations”. 《Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical》 (영어) 42 (40): 404004. arXiv:0902.0274. Bibcode:2009JPhA...42N4004D. doi:10.1088/1751-8113/42/40/404004. 
  4. Bars, Itzhak. “Lectures on twistors” (영어). arXiv:hep-th/0601091. Bibcode:2006hep.th....1091B. 
  5. Andrew Hodges (2010년 5월 14일). 《One to Nine: The Inner Life of Numbers》. Doubleday Canada. 142쪽. ISBN 978-0-385-67266-5. 
  6. Sämann, Christopher; Wolf, Martin (2013). “On twistors and conformal field theories from six dimensions” (영어). arXiv:1111.2539. doi:10.1063/1.4769410. 
  7. Sämann, Christian (2016). “Lectures on higher structures in M-theory” (영어). arXiv:1609.09815. 
  8. Penrose, Roger (1967). “Twistor Algebra”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 8: 345. doi:10.1063/1.1705200. 
  9. Penrose, Roger (1968년 5월). “Twistor quantisation and curved space-time” (영어). doi:10.1007/BF00668831. 
  10. Penrose, Roger (1969). “Solutions of the zero-rest-mass equations”. 《Journal of Mathematical Physics》 (영어) 10 (38). doi:10.1063/1.1664756. 
  11. Ward, Richard Samuel (1977). “On self‐dual gauge fields”. 《Physics Letters A》 61 (2): 81–82. Bibcode:1977PhLA...61...81W. doi:10.1016/0375-9601(77)90842-8. ISSN 0375-9601. MR 0443823. 

외부 링크편집