환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 은 각 행 i ∈ { 1 , … , m } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,m\}} 및 열 j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,n\}} 의 순서쌍 ( i , j ) {\displaystyle (i,j)} 에 환의 원소 A i j ∈ R {\displaystyle A_{ij}\in R} 를 대응시키는 함수 A = ( A i j ) i , j {\displaystyle A=(A_{ij})_{i,j}} 이다.[2] :98
행렬 A {\displaystyle A} 는 모든 성분을 직사각형으로 배열한 다음 소괄호 또는 대괄호 를 추가하여
( A 11 A 12 A 13 ⋯ A 1 n A 21 A 22 A 23 ⋯ A 2 n A 31 A 32 A 33 ⋯ A 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 A m 2 A m 3 ⋯ A m n ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&\cdots &A_{2n}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&\cdots &A_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{m1}&A_{m2}&A_{m3}&\cdots &A_{mn}\end{pmatrix}}} 또는
[ A 11 A 12 A 13 ⋯ A 1 n A 21 A 22 A 23 ⋯ A 2 n A 31 A 32 A 33 ⋯ A 3 n ⋮ ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m 1 A m 2 A m 3 ⋯ A m n ] {\displaystyle {\begin{bmatrix}A_{11}&A_{12}&A_{13}&\cdots &A_{1n}\\A_{21}&A_{22}&A_{23}&\cdots &A_{2n}\\A_{31}&A_{32}&A_{33}&\cdots &A_{3n}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{m1}&A_{m2}&A_{m3}&\cdots &A_{mn}\end{bmatrix}}} 와 같이 표기한다.
각 A i j {\displaystyle A_{ij}} 를 A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행 j {\displaystyle j} 번째 열의 성분 (成分, 영어 : entry ) 또는 원소 (元素, 영어 : element ) 또는 계수 (係數, 영어 : coefficient )라고 한다. 행렬 A {\displaystyle A} 의 각 성분은 행과 열의 번째수를 첨수로 사용하여 A i j {\displaystyle A_{ij}} , A i , j {\displaystyle A_{i,j}} , a i j {\displaystyle a_{ij}} , a i , j {\displaystyle a_{i,j}} , A ( i , j ) {\displaystyle A(i,j)} , A [ i , j ] {\displaystyle A[i,j]} 등과 같이 나타낸다. 행과 열의 번째수가 같은 성분 A i i {\displaystyle A_{ii}} (i ∈ { 1 , … , min { m , n } } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,\min\{m,n\}\}} )을 A {\displaystyle A} 의 대각 성분 (對角成分, 영어 : diagonal entry ) 또는 대각 원소 (對角元素, 영어 : diagonal element ) 또는 대각 요소 (對角要素) 또는 주대각선 성분이라고 한다.[2] :99
환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬의 집합은 Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 또는 M m , n ( R ) {\displaystyle \operatorname {M} _{m,n}(R)} 로 표기한다.
행렬 A {\displaystyle A} 의 크기 (영어 : size )는 행과 열의 수의 순서쌍 ( m , n ) {\displaystyle (m,n)} 또는 m × n {\displaystyle m\times n} 을 뜻한다. 일부 특수한 크기의 행렬들은 특별한 이름으로 불린다.
만약 행과 열의 수가 같다면 (m = n {\displaystyle m=n} ), A {\displaystyle A} 를 정사각 행렬 (正四角行列, 영어 : square matrix ) 또는 정방 행렬 (正方行列)이라고 한다. 환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬의 집합은 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 또는 M n ( R ) {\displaystyle \operatorname {M} _{n}(R)} 로 표기한다.
만약 m = 1 {\displaystyle m=1} 이라면, A {\displaystyle A} 를 1 × n {\displaystyle 1\times n} 행벡터 (行-, 영어 : row vector )라고 한다.
만약 n = 1 {\displaystyle n=1} 이라면, A {\displaystyle A} 를 m × 1 {\displaystyle m\times 1} 열벡터 (列-, 영어 : column vector )라고 한다. 특히, 행렬 A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행벡터와 j {\displaystyle j} 번째 열벡터는 각각
A i , − = ( A i 1 A i 2 ⋯ A i n ) {\displaystyle A_{i,-}={\begin{pmatrix}A_{i1}&A_{i2}&\cdots A_{in}\end{pmatrix}}} 와
A − , j ( A 1 j A 2 j ⋮ A m j ) {\displaystyle A_{-,j}{\begin{pmatrix}A_{1j}\\A_{2j}\\\vdots \\A_{mj}\end{pmatrix}}} 이며, 이를 통해 행렬을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
A = ( A 1 , − A 2 , − ⋮ A m , − ) = ( A − , 1 A − , 2 ⋯ A − , n ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,-}\\A_{2,-}\\\vdots \\A_{m,-}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{-,1}&A_{-,2}&\cdots &A_{-,n}\end{pmatrix}}}
행렬들에 대하여 덧셈, 스칼라배, 곱셈, 전치 행렬 등의 연산을 정의할 수 있으며, 정사각 행렬은 역행렬 , 대각합 , 행렬식 등 연산이 추가로 정의된다. 덧셈은 같은 크기의 두 행렬에 대해서만 정의되며, 곱셈은 오직 첫 번째 행렬의 열의 수와 두 번째 행렬의 행의 수가 같은 경우에만 정의된다.[2] :99 역행렬 은 가역 정사각 행렬에 대하여 정의되며, 행렬식 은 가환환 위의 정사각 행렬에 대하여 정의된다.
덧셈과 스칼라배
편집
환 R {\displaystyle R} 위의 두 m × n {\displaystyle m\times n} 의 행렬 A , B ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의 합 A + B ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A+B\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 은 두 행렬을 성분별로 합한 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬이다. 즉, 각 행과 열 i {\displaystyle i} , j {\displaystyle j} 에 대하여,
( A + B ) i j = A i j + B i j {\displaystyle (A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}} 이다.
실수 행렬의 예는 다음과 같다.
( 1 3 7 1 0 0 ) + ( 0 0 5 7 5 0 ) = ( 1 + 0 3 + 0 7 + 5 1 + 7 0 + 5 0 + 0 ) = ( 1 3 12 8 5 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&3&7\\1&0&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&5\\7&5&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1+0&3+0&7+5\\1+7&0+5&0+0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&3&12\\8&5&0\end{pmatrix}}} 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 의 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 및 환의 원소 r ∈ R {\displaystyle r\in R} 에 대하여, 왼쪽·오른쪽 스칼라배 r A , A r ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle rA,Ar\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 는 각각 행렬의 각 성분의 왼쪽·오른쪽에 스칼라를 곱한 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬이다.
( r A ) i j = r A i j {\displaystyle (rA)_{ij}=rA_{ij}}
( A r ) i j = A i j r {\displaystyle (Ar)_{ij}=A_{ij}r} 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우, 이 두 연산은 일치하며, 이를 스칼라배라고 부른다.
실수 행렬의 예는 다음과 같다.
2 ( 1 8 − 3 4 − 2 5 ) = ( 2 ⋅ 1 2 ⋅ 8 2 ⋅ − 3 2 ⋅ 4 2 ⋅ − 2 2 ⋅ 5 ) = ( 2 16 − 6 8 − 4 10 ) {\displaystyle 2{\begin{pmatrix}1&8&-3\\4&-2&5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2\cdot 1&2\cdot 8&2\cdot -3\\2\cdot 4&2\cdot -2&2\cdot 5\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}2&16&-6\\8&-4&10\end{pmatrix}}} 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬의 집합 Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)} 은 위 덧셈과 왼쪽·오른쪽 스칼라배에 따라 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군 을 이룬다. 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우, 이는 (덧셈과 스칼라배에 따른) R {\displaystyle R} -가군 이 되며, 특히 만약 R {\displaystyle R} 가 체 일 경우 R {\displaystyle R} -벡터 공간 이다. 이 쌍가군 의 덧셈 항등원 은 영행렬 (즉, 모든 성분이 0인 행렬)
0 m × n = ( 0 0 ⋯ 0 0 0 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 0 ) ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle 0_{m\times n}={\begin{pmatrix}0&0&\cdots &0\\0&0&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &0\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 이며, 각 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의 덧셈 역원 은 성분별 덧셈 역원
− A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle -A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
( − A ) i j = − A i j {\displaystyle (-A)_{ij}=-A_{ij}} 이다.
특히, 두 행렬 A , B ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의 차를 다음과 같이 정의할 수 있다.
A − B = A + ( − B ) ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A-B=A+(-B)\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬의 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군 A , B ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 는 왼쪽 가군으로서 m n {\displaystyle mn} 차원 왼쪽 자유 가군 을 이루며, 오른쪽 가군으로서 m n {\displaystyle mn} 차원 오른쪽 자유 가군 을 이룬다. R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우 m n {\displaystyle mn} 차원 자유 R {\displaystyle R} -가군이다. 그 한 기저 는 다음과 같다.
E i j ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle E_{ij}\in \operatorname {Mat} (m,n;R)}
( E i j ) k l = δ i k δ j l = { 1 i = k ∧ j = l 0 i ≠ k ∨ j ≠ l {\displaystyle (E_{ij})_{kl}=\delta _{ik}\delta _{jl}={\begin{cases}1&i=k\land j=l\\0&i\neq k\lor j\neq l\end{cases}}}
i ∈ { 1 , … , m } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,m\}}
j ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,n\}}
행렬 곱셈 환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 와 n × p {\displaystyle n\times p} 행렬 B ∈ Mat ( n , p ; R ) {\displaystyle B\in \operatorname {Mat} (n,p;R)} 의 곱 A B ∈ Mat ( m , p ; R ) {\displaystyle AB\in \operatorname {Mat} (m,p;R)} 는 m × p {\displaystyle m\times p} 행렬이며, 그 i {\displaystyle i} 번째 행 j {\displaystyle j} 번째 열 성분은 A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행벡터와 B {\displaystyle B} 의 j {\displaystyle j} 번째 열벡터의 ‘스칼라곱 ’이다 (둘 모두 n {\displaystyle n} 차원 벡터이므로 ‘스칼라곱’이 정의된다).
( A B ) i j = ∑ k = 1 n A i k B k j = A i 1 B 1 j + A i 2 B 2 j + ⋯ A i n B n j {\displaystyle (AB)_{ij}=\sum _{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+\cdots A_{in}B_{nj}} 다음은 실수 행렬의 예다.
( 1 0 2 − 1 3 1 ) ( 3 1 2 1 1 0 ) = ( 1 ⋅ 3 + 0 ⋅ 2 + 2 ⋅ 1 1 ⋅ 1 + 0 ⋅ 1 + 2 ⋅ 0 − 1 ⋅ 3 + 3 ⋅ 2 + 1 ⋅ 1 − 1 ⋅ 1 + 3 ⋅ 1 + 1 ⋅ 0 ) = ( 5 1 4 2 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0&2\\-1&3&1\\\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}3&1\\2&1\\1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1\cdot 3+0\cdot 2+2\cdot 1&1\cdot 1+0\cdot 1+2\cdot 0\\-1\cdot 3+3\cdot 2+1\cdot 1&-1\cdot 1+3\cdot 1+1\cdot 0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}5&1\\4&2\end{pmatrix}}} 행벡터와 열벡터
A = ( A 1 , − A 2 , − ⋮ A m , − ) {\displaystyle A={\begin{pmatrix}A_{1,-}\\A_{2,-}\\\vdots \\A_{m,-}\end{pmatrix}}}
B = ( B − , 1 B − , 2 ⋯ B − , n ) {\displaystyle B={\begin{pmatrix}B_{-,1}&B_{-,2}&\cdots &B_{-,n}\end{pmatrix}}} 를 통해 행렬 곱셈을 다음과 같이 나타낼 수 있다.
A B = ( A 1 , − B A 2 , − B ⋮ A m , − B ) = ( A B − , 1 A B − , 2 ⋯ A B − , n ) = ( A 1 , − B − , 1 A 1 , − B − , 2 ⋯ A 1 , − B − , p A 2 , − B − , 1 A 2 , − B − , 2 ⋯ A 2 , − B − , p ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A m , − B − , 1 A m , − B − , 2 ⋯ A m , − B − , p ) {\displaystyle AB={\begin{pmatrix}A_{1,-}B\\A_{2,-}B\\\vdots \\A_{m,-}B\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}AB_{-,1}&AB_{-,2}&\cdots &AB_{-,n}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}A_{1,-}B_{-,1}&A_{1,-}B_{-,2}&\cdots &A_{1,-}B_{-,p}\\A_{2,-}B_{-,1}&A_{2,-}B_{-,2}&\cdots &A_{2,-}B_{-,p}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{m,-}B_{-,1}&A_{m,-}B_{-,2}&\cdots &A_{m,-}B_{-,p}\end{pmatrix}}} 행렬 곱셈은 결합 법칙 을 만족시킨다. 즉, 환 R {\displaystyle R} 위의 임의의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 및 n × p {\displaystyle n\times p} 행렬 B ∈ Mat ( n , p ; R ) {\displaystyle B\in \operatorname {Mat} (n,p;R)} 및 p × q {\displaystyle p\times q} 행렬 C ∈ Mat ( p , q ; R ) {\displaystyle C\in \operatorname {Mat} (p,q;R)} 에 대하여,
( A B ) C = A ( B C ) {\displaystyle (AB)C=A(BC)} 가 성립한다.
행렬 곱셈은 함수
Mat ( m , n ; R ) ⊕ Mat ( n , p ; R ) → Mat ( m , p ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (m,n;R)\oplus \operatorname {Mat} (n,p;R)\to \operatorname {Mat} (m,p;R)} 로서 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍선형 함수를 이룬다.
특히, 환 R {\displaystyle R} 위의 정사각 행렬들의 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 는 그 위의 행렬 곱셈에 따라 R {\displaystyle R} -결합 대수 를 이룬다. 특히 환 을 이루며, 행렬환 (行列環, 영어 : matrix ring )이라고 한다. 행렬환의 곱셈 항등원 은 단위 행렬 (즉, 모든 대각 성분이 1, 그 밖의 성분이 0인 행렬)
1 n × n = ( 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ 0 0 ⋯ 1 ) ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle 1_{n\times n}={\begin{pmatrix}1&0&\cdots &0\\0&1&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &1\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (n;R)} 이다.
교환 법칙과 소거 법칙의 실패
편집
행렬환은 일반적으로 가환환 이 아니다. 즉, 행렬 곱셈의 교환 법칙 은 (체 의 경우에도) 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 2×2 행렬의 경우
( 1 0 0 0 ) ( 1 2 0 3 ) = ( 1 2 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&2\\0&0\end{pmatrix}}} 이지만
( 1 2 0 3 ) ( 1 0 0 0 ) = ( 1 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}1&2\\0&3\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}} 이다.
물론 가환 하는 두 행렬도 존재한다. 예를 들어, 가환환 위의 스칼라 행렬 은 (같은 크기의) 모든 행렬과 가환한다. 또한, 가환환 R {\displaystyle R} 및 정사각 행렬 A ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여,
R [ A ] = { p ( A ) : p ∈ R [ x ] } ⊆ Mat ( n ; R ) {\displaystyle R[A]=\{p(A)\colon p\in R[x]\}\subseteq \operatorname {Mat} (n;R)} 는 가환환 이다.
행렬환은 일반적으로 0이 아닌 왼쪽·오른쪽 영인자 를 갖는다. 즉, 0이 아닌 두 행렬의 곱은 0일 수 있으며, 소거 법칙 이 일반적으로 성립하지 않는다. 예를 들어, 실수 행렬에서
( 2 − 1 − 2 1 ) ( 1 3 2 6 ) = ( 0 0 0 0 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}2&-1\\-2&1\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}1&3\\2&6\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}}} 이다.
행렬환 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 의 가역원 은 가역 행렬 이라고 하며, 그 곱셈 역원 은 역행렬 이라고 한다. 일반적으로 행렬환은 (체 위에서도) 0이 아닌 비가역 행렬 을 갖는다. 예를 들어, 실수 2×2 정사각 행렬
( 0 5 0 3 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}0&5\\0&3\end{pmatrix}}} 은 가역 행렬 이 아니다.
만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우, 가역 행렬은 행렬식 이 환의 가역원인 것과 동치 이며, 특히 체 의 경우 행렬식 이 0이 아닌 것과 동치 이다. 또한, 가역 행렬 A ∈ Unit ( Mat ( n ; R ) ) {\displaystyle A\in \operatorname {Unit} (\operatorname {Mat} (n;R))} 의 역행렬 은 행렬식 과 수반 행렬 을 통하여 다음과 같이 나타낼 수 있다.
A − 1 = 1 det A adj A {\displaystyle A^{-1}={\frac {1}{\det A}}\operatorname {adj} A} 전치 행렬
편집
환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의 전치 행렬 A ⊤ ∈ Mat ( n , m ; R ) {\displaystyle A^{\top }\in \operatorname {Mat} (n,m;R)} 는 행과 열을 교환한 n × m {\displaystyle n\times m} 행렬이다. 즉, 각 i ∈ { 1 , … , n } {\displaystyle i\in \{1,\dotsc ,n\}} 및 j ∈ { 1 , … , m } {\displaystyle j\in \{1,\dotsc ,m\}} 에 대하여,
( A ⊤ ) i j = A j i {\displaystyle (A^{\top })_{ij}=A_{ji}} 이다.[2] :99
다음은 실수 행렬의 예다.
( 9 8 7 − 1 3 4 ) ⊤ = ( 9 − 1 8 3 7 4 ) {\displaystyle {\begin{pmatrix}9&8&7\\-1&3&4\end{pmatrix}}^{\top }={\begin{pmatrix}9&-1\\8&3\\7&4\end{pmatrix}}} 이다.
전치 행렬은 함수
⊤ : Mat ( m , n ; R ) → Mat ( n , m ; R ) {\displaystyle ^{\top }\colon \operatorname {Mat} (m,n;R)\to \operatorname {Mat} (n,m;R)} 로서 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -쌍가군 동형 을 이루며, 그 역함수 또한 (정의역 과 공역 이 뒤바뀐) 전치 행렬이다.
또한, 임의의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 및 n × p {\displaystyle n\times p} 행렬 B ∈ Mat ( n , p ; R ) {\displaystyle B\in \operatorname {Mat} (n,p;R)} 에 대하여,
( A B ) ⊤ = B ⊤ A ⊤ {\displaystyle (AB)^{\top }=B^{\top }A^{\top }} 이다.
특히, 환 R {\displaystyle R} 위의 정사각 행렬의 R {\displaystyle R} -결합 대수 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 위에서, 전치 행렬 은 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 와 그 반대환 Mat ( n ; R ) op {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)^{\operatorname {op} }} 사이의 대합 R {\displaystyle R} -결합 대수 동형 이며, 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우 Mat ( n ; R ) {\displaystyle \operatorname {Mat} (n;R)} 는 전치 행렬에 따라 R {\displaystyle R} -대합 대수 를 이룬다.
이 부분의 본문은
대각합 입니다.
환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 의 대각합 은 모든 대각 성분들의 합이다.
tr A = ∑ i = 1 n A i i = A 11 + A 22 + ⋯ + A n n ∈ R {\displaystyle \operatorname {tr} A=\sum _{i=1}^{n}A_{ii}=A_{11}+A_{22}+\cdots +A_{nn}\in R} 대각합
tr : Mat ( n ; R ) → R {\displaystyle \operatorname {tr} \colon \operatorname {Mat} (n;R)\to R} 는 ( R , R ) {\displaystyle (R,R)} -선형 변환 을 이룬다. 또한, 임의의 A ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 그 대각합은 그 전치 행렬 의 대각합과 같다.
tr ( A ⊤ ) = tr A {\displaystyle \operatorname {tr} (A^{\top })=\operatorname {tr} A} 만약 R {\displaystyle R} 가 가환환 일 경우, 임의의 두 행렬 A , B ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여, 두 행렬의 곱의 대각합은 곱하는 순서와 무관하게 같다.
tr ( A B ) = tr ( B A ) {\displaystyle \operatorname {tr} (AB)=\operatorname {tr} (BA)}
이 부분의 본문은
행렬식 입니다.
가환환 R {\displaystyle R} 위의 n × n {\displaystyle n\times n} 정사각 행렬 A ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (n;R)} 의 행렬식 은 다음과 같다.
det A = ∑ σ ∈ Sym ( n ) sgn σ ∏ i = 1 n A i , σ ( i ) ∈ R {\displaystyle \det A=\sum _{\sigma \in \operatorname {Sym} (n)}\operatorname {sgn} \sigma \prod _{i=1}^{n}A_{i,\sigma (i)}\in R} 여기서 Sym ( n ) {\displaystyle \operatorname {Sym} (n)} 은 대칭군 이며, sgn σ {\displaystyle \operatorname {sgn} \sigma } 는 순열의 부호 이다. 행렬 A {\displaystyle A} 의 행렬식은 det A {\displaystyle \det A} , | A | {\displaystyle |A|} , D ( A ) {\displaystyle \operatorname {D} (A)} 등으로 표기한다. 특히, 2×2 행렬 A ∈ Mat ( 2 ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (2;R)} 의 행렬식은 다음과 같다.
det A = | A 11 A 12 A 21 A 22 | = A 11 A 22 − A 12 A 21 {\displaystyle \det A={\begin{vmatrix}A_{11}&A_{12}\\A_{21}&A_{22}\end{vmatrix}}=A_{11}A_{22}-A_{12}A_{21}} 행렬식은 n {\displaystyle n} 개의 행벡터(또는 열벡터)의 함수
det : Mat ( n ; R ) = Mat ( 1 , n ; R ) ⊕ ⋯ ⊕ Mat ( 1 , n ; R ) ⏟ n → R {\displaystyle \det \colon \operatorname {Mat} (n;R)=\underbrace {\operatorname {Mat} (1,n;R)\oplus \cdots \oplus \operatorname {Mat} (1,n;R)} _{n}\to R} 로서, 단위 행렬 의 상 이 1인 유일한 R {\displaystyle R} -교대 다중 선형 형식 이다. 또한, 행렬식은 두 환의 곱셈 모노이드 사이의 준동형이며, 전치 행렬 에 대하여 불변이다. 즉, 임의의 A , B ∈ Mat ( n ; R ) {\displaystyle A,B\in \operatorname {Mat} (n;R)} 에 대하여,
det ( A B ) = det A det B {\displaystyle \det(AB)=\det A\det B}
det A ⊤ = det A {\displaystyle \det A^{\top }=\det A} 이다.
행렬식은 크라메르 공식 에서 사용된다.
부분 행렬과 소행렬식
편집
환 R {\displaystyle R} 위의 m × n {\displaystyle m\times n} 행렬 A ∈ Mat ( m , n ; R ) {\displaystyle A\in \operatorname {Mat} (m,n;R)} 의, 행과 열의 집합
I = { i 1 , i 2 , … , i | I | } ⊆ { 1 , … , m } ( i 1 < i 2 < ⋯ < i | I | ) {\displaystyle I=\{i_{1},i_{2},\dotsc ,i_{|I|}\}\subseteq \{1,\dotsc ,m\}\qquad (i_{1}<i_{2}<\cdots <i_{|I|})}
J = { j 1 , j 2 , … , j | J | } ⊆ { 1 , … , n } ( j 1 < j 2 < ⋯ < j | J | ) {\displaystyle J=\{j_{1},j_{2},\dotsc ,j_{|J|}\}\subseteq \{1,\dotsc ,n\}\qquad (j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{|J|})} 에 속하는 행과 열을 취한 부분 행렬 은 다음과 같다.
A I , J = ( A i 1 , j 1 A i 1 , j 2 ⋯ A i 1 , j | J | A i 2 , j 1 A i 2 , j 2 ⋯ A i 2 , j | J | ⋮ ⋮ ⋱ ⋮ A i | I | , j 1 A i | I | , j 2 ⋯ A i | I | , j | J | ) ∈ Mat ( | I | , | J | ; R ) {\displaystyle A_{I,J}={\begin{pmatrix}A_{i_{1},j_{1}}&A_{i_{1},j_{2}}&\cdots &A_{i_{1},j_{|J|}}\\A_{i_{2},j_{1}}&A_{i_{2},j_{2}}&\cdots &A_{i_{2},j_{|J|}}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\A_{i_{|I|},j_{1}}&A_{i_{|I|},j_{2}}&\cdots &A_{i_{|I|},j_{|J|}}\end{pmatrix}}\in \operatorname {Mat} (|I|,|J|;R)} 특히,
A {\displaystyle A} 의 I {\displaystyle I} 에 대한 주부분 행렬 은 부분 행렬 A I , I {\displaystyle A_{I,I}} 를 뜻한다.[3] :24, §1.3.3
A {\displaystyle A} 의 k × k {\displaystyle k\times k} 선행 주부분 행렬 은 부분 행렬 A { 1 , … , k } , { 1 , … , k } {\displaystyle A_{\{1,\dotsc ,k\},\{1,\dotsc ,k\}}} 를 뜻한다.[3] :24, §1.3.3
A {\displaystyle A} 의 i {\displaystyle i} 번째 행벡터 는 A i , { 1 , … , n } {\displaystyle A_{i,\{1,\dotsc ,n\}}} 이다.
A {\displaystyle A} 의 j {\displaystyle j} 번째 열벡터 는 A { 1 , … , m } , j {\displaystyle A_{\{1,\dotsc ,m\},j}} 이다.가환환 위의 행렬의 부분 정사각 행렬 의 행렬식 을 소행렬식 이라고 한다.