K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
실수체 또는 복소수체 라고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간
(
X
,
‖
⋅
‖
)
{\displaystyle (X,\|\cdot \|)}
동치 이며, 이를 만족시키는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간 을
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
(노름 으로 정의한 거리 함수 를 부여하면) 완비 거리 공간 이다. 즉, 모든 코시 열 이 수렴 한다.
모든 절대 수렴 급수가 수렴한다. 즉, 임의의 점렬
(
v
i
)
i
∈
N
⊆
X
{\displaystyle (v_{i})_{i\in \mathbb {N} }\subseteq X}
∑
i
∈
N
‖
v
i
‖
<
∞
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }\|v_{i}\|<\infty }
∑
i
∈
N
v
i
{\displaystyle \textstyle \sum _{i\in \mathbb {N} }v_{i}}
노름 으로 정의한 거리 위상 에 대하여) 수렴한다.[ 5] :8, §1.2, Exercise 1.2.1 체
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
실수체 또는 복소수체 로 국한하는 이유는 노름 공간에 완비성을 가정하려면 그 체가 완비되어야 하기 때문이다. (예를 들어, 유리수체 는 완비되지 못한다.)
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
V
{\displaystyle V}
ι
:
W
↪
V
{\displaystyle \iota \colon W\hookrightarrow V}
W
{\displaystyle W}
닫힌집합 이라면
W
{\displaystyle W}
만약 다음 조건을 만족시키는 선형 변환
P
:
V
→
W
{\displaystyle P\colon V\to W}
W
{\displaystyle W}
여공간을 가지는 부분 공간 (영어 : complemented subspace )라고 한다.
P
{\displaystyle P}
전사 함수 이다.
ι
∘
P
:
V
→
V
{\displaystyle \iota \circ P\colon V\to V}
W
{\displaystyle W}
사영 이다. 즉,
ι
∘
P
∘
ι
∘
P
=
ι
∘
P
{\displaystyle \iota \circ P\circ \iota \circ P=\iota \circ P}
P
{\displaystyle P}
유계 작용소 이다.여분 부분 공간은 (연속 함수의 상 이므로) 항상 닫힌집합 이다. 즉, 바나흐 공간의 부분 벡터 공간에 대하여 다음과 같은 함의 관계가 존재한다.
여공간을 가지는 부분 공간 ⇒ 닫힌 부분 벡터 공간 ⇒ 부분 벡터 공간 여분 부분 공간
W
⊆
V
{\displaystyle W\subseteq V}
V
{\displaystyle V}
V
=
W
⊕
ker
P
{\displaystyle V=W\oplus \ker P}
그러나 이러한
P
{\displaystyle P}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간
V
{\displaystyle V}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
등거리 선형 변환
ι
:
V
→
V
¯
{\displaystyle \iota \colon V\to {\bar {V}}}
상
ι
(
V
)
⊆
V
¯
{\displaystyle \iota (V)\subseteq {\bar {V}}}
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
조밀 집합 이다.또한, 이는 다음과 같은 보편 성질 을 만족시킨다.
임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
W
{\displaystyle W}
j
:
V
→
W
{\displaystyle j\colon V\to W}
j
(
V
)
{\displaystyle j(V)}
조밀 집합 이라면,
j
=
i
∘
ι
{\displaystyle j=i\circ \iota }
선형 위상 동형 사상 )
i
:
V
¯
→
W
{\displaystyle i\colon {\bar {V}}\to W}
V
¯
{\displaystyle {\bar {V}}}
거리 공간 으로서
V
{\displaystyle V}
거리 공간 완비화 와 같다. 만약
V
{\displaystyle V}
ι
{\displaystyle \iota }
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
‖
‖
X
↾
Y
{\displaystyle \|\|_{X}\upharpoonright Y}
노름 공간 을 이룬다. 이 경우, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
Y
{\displaystyle Y}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
Y
{\displaystyle Y}
닫힌집합 이다.또한, 닫힌 부분 벡터 공간
Y
⊆
X
{\displaystyle Y\subseteq X}
몫공간
X
/
Y
{\displaystyle X/Y}
‖
x
+
Y
‖
=
inf
y
∈
Y
‖
x
+
y
‖
{\displaystyle \lVert x+Y\rVert =\inf _{y\in Y}\lVert x+y\rVert }
으로 노름 을 주자. 그렇다면
X
/
Y
{\displaystyle X/Y}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간
Y
{\displaystyle Y}
연속 열린
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
T
:
X
→
Y
{\displaystyle T\colon X\to Y}
그렇다면,
T
(
X
)
{\displaystyle T(X)}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
다음 데이터가 주어졌다고 하자.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간 의 집합
(
V
i
)
i
∈
I
{\displaystyle (V_{i})_{i\in I}}
확장된 실수
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
그렇다면, 직합
V
~
=
⨁
i
∈
I
V
i
{\displaystyle {\tilde {V}}=\bigoplus _{i\in I}V_{i}}
위에 다음과 같은 노름 을 정의하자.
‖
⨁
i
∈
I
v
i
‖
=
{
∑
i
∈
I
‖
v
i
‖
V
i
p
p
p
<
∞
max
i
∈
I
‖
v
i
‖
V
i
p
=
∞
{\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}}
그렇다면,
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
만약
I
{\displaystyle I}
유한 집합 이라면, 다음 두 조건이 서로 동치 이다.
모든
i
{\displaystyle i}
V
i
{\displaystyle V_{i}}
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
이 경우,
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
p
{\displaystyle p}
p
{\displaystyle p}
그러나 만약
I
{\displaystyle I}
무한 집합 이라면,
V
i
{\displaystyle V_{i}}
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
V
~
{\displaystyle {\tilde {V}}}
V
{\displaystyle V}
p
∈
[
1
,
∞
]
{\displaystyle p\in [1,\infty ]}
힐베르트 공간 의 경우 간단하고 유일한 텐서곱이 존재하지만, 바나흐 공간의 텐서곱 이론은 유일하지 않으며 복잡하다.[ 6] [ 7] 사영 위상 텐서곱 (영어 : projective topological tensor product )과 "최소" 텐서곱인 단사 위상 텐서곱 (영어 : injective topological tensor product )이 존재한다. 이 둘은 일반적으로 서로 다르며, 또한 (힐베르트 공간의 경우) 힐베르트 텐서곱과도 다르다.
바나흐-샤우데르 정리 (-定理, 영어 : Banach-Schauder theorem ) 또는 열린 사상 정리 (-寫像定理, 영어 : open mapping theorem )에 따르면, 임의의 두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
전사 유계 작용소
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
열린 함수 이다.[ 8] :48, Theorem 2.11 전단사 선형 변환 은 항상 위상 벡터 공간 의 동형 사상 이다. (그러나 이는 등거리 변환 이 아닐 수 있다.)
이 정의는 베르 범주 정리 를 사용하여 다음과 같이 증명될 수 있다.
증명 :
V
{\displaystyle V}
열린 공 의 상
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)}
이
0
W
{\displaystyle 0_{W}}
근방 임을 증명하면 족하다.
우선,
V
{\displaystyle V}
열린 공 들의 합집합 이다.
V
=
⋃
n
∈
Z
+
ball
V
(
0
,
n
)
{\displaystyle V=\bigcup _{n\in \mathbb {Z} ^{+}}\operatorname {ball} _{V}(0,n)}
T
{\displaystyle T}
전사 함수 이므로
W
=
T
(
V
)
=
⋃
n
=
1
∞
T
(
ball
V
(
0
,
n
)
)
{\displaystyle W=T(V)=\bigcup _{n=1}^{\infty }T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)}
이다.
베르 범주 정리 에 따라서, 바나흐 공간
W
{\displaystyle W}
가산 개의 조밀한 곳이 없는 집합 들의 합집합으로 표현될 수 없다. 따라서,
ball
W
(
n
c
,
n
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
n
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(nc,nr)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,n)\right)\right)}
인 양의 정수
n
∈
Z
+
{\displaystyle n\in \mathbb {Z} ^{+}}
c
∈
W
{\displaystyle c\in W}
r
>
0
{\displaystyle r>0}
ball
(
−
,
−
)
{\displaystyle \operatorname {ball} (-,-)}
열린 공 을 뜻한다.) 즉,
ball
W
(
c
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이다.
이제,
ball
W
(
0
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
를 증명하자. 우선,
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
=
−
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)=-\operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이므로, 임의의
w
∈
ball
W
(
0
,
r
)
{\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r)}
w
±
c
∈
ball
(
±
c
,
r
)
⊆
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle w\pm c\in \operatorname {ball} (\pm c,r)\subseteq \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이며,
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
볼록 집합 이므로
w
=
(
w
+
c
)
+
(
w
−
c
)
)
2
∈
cl
(
T
(
ball
V
(
0
,
1
)
)
)
{\displaystyle w={\frac {(w+c)+(w-c))}{2}}\in \operatorname {cl} \left(T\left(\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)\right)}
이다.
이제
ball
W
(
0
,
r
/
2
)
⊆
T
(
2
r
ball
V
(
0
,
1
)
)
{\displaystyle \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)\subseteq T\left({\frac {2}{r}}\operatorname {ball} _{V}(0,1)\right)}
를 증명하면 족하다. 즉, 임의의
w
∈
ball
W
(
0
,
r
/
2
)
{\displaystyle w\in \operatorname {ball} _{W}(0,r/2)}
T
v
=
w
{\displaystyle Tv=w}
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
다음 두 조건을 만족시키는 벡터열
(
v
1
,
v
2
,
…
)
{\displaystyle (v_{1},v_{2},\ldots )}
‖
v
i
‖
<
2
−
i
∀
i
∈
Z
+
{\displaystyle \|v_{i}\|<2^{-i}\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
‖
w
−
T
v
1
−
⋯
−
T
v
i
‖
<
2
−
i
−
1
r
∀
i
∈
Z
+
{\displaystyle \|w-Tv_{1}-\cdots -Tv_{i}\|<2^{-i-1}r\qquad \forall i\in \mathbb {Z} ^{+}}
(이는
r
{\displaystyle r}
절대 수렴 급수는 수렴하므로,
v
=
∑
i
=
1
∞
v
i
∈
ball
V
(
0
,
1
)
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{\infty }v_{i}\in \operatorname {ball} _{V}(0,1)}
를 정의할 수 있다.
T
{\displaystyle T}
연속 함수 이므로
T
v
=
w
{\displaystyle Tv=w}
이다.
특히, 이에 따라 두 바나흐 공간 사이의 전단사 유계 작용소 는 위상 벡터 공간 의 동형이다.[ 8] :51, Theorem 2.15 닫힌 그래프 정리 (영어 : closed graph theorem )에 따르면, 두
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
T
:
V
→
W
{\displaystyle T\colon V\to W}
동치 이다.
연속 함수 이다.유계 작용소 이다.
graph
T
=
{
(
v
,
T
v
)
:
v
∈
V
}
⊆
V
⊕
W
{\displaystyle \operatorname {graph} T=\{(v,Tv)\colon v\in V\}\subseteq V\oplus W}
곱위상 을 부여한)
V
⊕
W
{\displaystyle V\oplus W}
닫힌집합 이다.즉, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소 에 대하여 다음 함의 관계가 성립한다.
이 밖에도, 두 바나흐 공간 사이의 유계 작용소 의 열에 대하여 균등 유계성 원리
다음과 같은 함의 관계가 성립한다.
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
힐베르트 공간 ⇒
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
반사 바나흐 공간 ⇒
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
⇓
⇓
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
내적 공간
⟹
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
노름 공간
벡터 공간의 (하멜) 기저 나 힐베르트 공간 의 정규 직교 기저 와 달리, 바나흐 공간 이론에서 기저의 개념은 복잡하다. 바나흐 공간의 경우 샤우데르 기저
바나흐 공간 속의 열린집합 위에 정의된 함수의 경우, 프레셰 도함수
분해 가능 바나흐 공간에 대하여 다음과 같은 분류 정리가 존재한다.
모든 분해 가능
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
르베그 공간
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
몫공간 이다. 즉,
ℓ
1
(
K
)
{\displaystyle \ell ^{1}(\mathbb {K} )}
닫힌
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
M
{\displaystyle M}
X
≅
ℓ
1
(
K
)
/
M
{\displaystyle X\cong \ell ^{1}(\mathbb {K} )/M}
[ 9]
C
0
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}}
편집
바나흐-마주르 정리 (Banach-Mazur定理, 독일어 : Banach–Mazur theorem )에 따르면, 임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
어떤 콤팩트 하우스도르프 공간
K
{\displaystyle K}
등거리
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
ι
:
V
→
C
0
(
K
,
K
)
{\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {K} )}
만약
V
{\displaystyle V}
분해 가능 공간 이라면, 등거리
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환
ι
:
V
→
C
0
(
[
0
,
1
]
,
K
)
{\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )}
여기서
C
0
(
−
,
K
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(-,\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수 이며, 그 위의 노름은
‖
f
‖
=
sup
x
∈
K
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \|f\|=\sup _{x\in K}|f(x)|}
이다.
이는 구체적으로 다음과 같이 구성할 수 있다. 분해 가능 실수 바나흐 공간
V
{\displaystyle V}
연속 쌍대 공간
V
′
{\displaystyle V'}
닫힌 공
K
=
ball
V
′
(
0
,
1
)
{\displaystyle K=\operatorname {ball} _{V'}(0,1)}
약한-* 위상 을 부여하자. 이는 바나흐-앨러오글루 정리 에 의하여 콤팩트 하우스도르프 공간 이다. 약한-* 위상 의 정의에 따라, 임의의
v
∈
V
{\displaystyle v\in V}
연속 함수
K
→
K
{\displaystyle K\to \mathbb {K} }
f
↦
f
(
v
)
{\displaystyle f\mapsto f(v)}
는 연속 함수 이다. 즉, 이는 연속 함수
V
→
C
0
(
K
)
{\displaystyle V\to {\mathcal {C}}^{0}(K)}
v
↦
(
f
↦
f
(
x
)
)
{\displaystyle v\mapsto (f\mapsto f(x))}
를 정의한다. 이는 등거리 선형 변환 임을 쉽게 보일 수 있다.
만약
V
{\displaystyle V}
분해 가능 공간 이라면,
C
0
(
K
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(K,\mathbb {R} )}
C
0
(
[
0
,
1
]
,
R
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )}
바나흐-마주르 콤팩트 공간 (영어 : Banach–Mazur compactum )이라는, 유한 차원 바나흐 공간의 일종의 모듈라이 공간 이 존재한다.
자연수
n
{\displaystyle n}
K
∈
{
R
,
C
}
{\displaystyle \mathbb {K} \in \{\mathbb {R} ,\mathbb {C} \}}
n
{\displaystyle n}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
전단사
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
선형 변환 들의 공간
GL
(
V
,
W
)
{\displaystyle \operatorname {GL} (V,W)}
V
{\displaystyle V}
W
{\displaystyle W}
바나흐-마주르 거리 (영어 : Banach–Mazur distance )는 다음과 같다.
d
(
V
,
W
)
=
ln
T
∈
GL
(
V
,
W
)
‖
T
‖
‖
T
−
1
‖
{\displaystyle d(V,W)=\ln _{T\in \operatorname {GL} (V,W)}\|T\|\|T^{-1}\|}
여기서
‖
T
‖
{\displaystyle \|T\|}
작용소 노름 이다.
이는 삼각 부등식 을 만족시킨다.
n
{\displaystyle n}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
거리 함수 를 통해 콤팩트 거리 공간 을 이룬다. 이를 바나흐-마주르 콤팩트 공간 이라고 한다.
자연수
n
∈
N
{\displaystyle n\in \mathbb {N} }
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
벡터 공간
K
n
{\displaystyle \mathbb {K} ^{n}}
‖
(
x
1
,
…
,
x
n
)
‖
=
|
x
1
|
2
+
⋯
+
|
x
n
|
2
{\displaystyle \|(x_{1},\dots ,x_{n})\|={\sqrt {|x_{1}|^{2}+\cdots +|x_{n}|^{2}}}}
를 부여하면, 이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
임의의 측도 공간
(
X
,
Σ
,
μ
)
{\displaystyle (X,\Sigma ,\mu )}
확장된 실수
1
≤
p
≤
∞
{\displaystyle 1\leq p\leq \infty }
르베그 공간
L
p
(
X
;
K
)
{\displaystyle \operatorname {L} ^{p}(X;\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
수렴 수열 공간
c
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} (\mathbb {K} )}
c
0
(
K
)
{\displaystyle \operatorname {c} _{0}(\mathbb {K} )}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
임의의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
힐베르트 공간
H
{\displaystyle {\mathcal {H}}}
‖
v
‖
=
⟨
v
,
v
⟩
(
v
∈
H
)
{\displaystyle \|v\|={\sqrt {\langle v,v\rangle }}\qquad (v\in {\mathcal {H}})}
로 노름을 정의하면 이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
콤팩트 하우스도르프 공간
X
{\displaystyle X}
X
{\displaystyle X}
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
연속 함수 들의
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
벡터 공간
C
0
(
X
,
K
)
{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}(X,\mathbb {K} )}
에 다음과 같은 노름 을 줄 수 있다.
‖
f
‖
=
max
x
∈
X
|
f
(
x
)
|
{\displaystyle \|f\|=\max _{x\in X}|f(x)|}
이는
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
K
{\displaystyle \mathbb {K} }
바나흐 대수 를 이룬다.
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![{\displaystyle \left\|\bigoplus _{i\in I}v_{i}\right\|={\begin{cases}{\sqrt[{p}]{\sum _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}^{p}}}&p<\infty \\\max _{i\in I}\|v_{i}\|_{V_{i}}&p=\infty \end{cases}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bcffd5412900c03b61e278c443c1a4de4273e8ee)
![{\displaystyle p\in [1,\infty ]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97b602ff0617b1b60e63d22200cad684dc5b26a0)
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![{\displaystyle \iota \colon V\to {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {K} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/11774948a052f6b1c1ecbb67da5a819c6cd66ea8)
![{\displaystyle {\mathcal {C}}^{0}([0,1],\mathbb {R} )}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf3dce8da5785b90bcda4d63c884dc70d210e239)
