그라스만 다양체

선형공간의 k차원 부분공간들이 이루는 다양체
(플뤼커 좌표에서 넘어옴)

대수기하학에서, 그라스만 다양체(Graßmann多樣體, 영어: Grassmannian)는 어떤 선형 공간의 주어진 차원의 부분 선형 공간들을 분류하는 모듈라이 공간이다.

그라스만 다양체 Gr(k, V)n-차원 선형 공간 V의 모든 k-차원 부분 선형 공간들의 집합이 이루는 다양체다. 예를 들어, Gr(1, V)V의 원점을 지나는 모든 직선들의 집합이다. 즉 V로부터 얻은 사영공간과 같다.

복소 또는 실 선형 공간의 그라스만 다양체는 컴팩트한 매끄러운 다양체가 된다.

정의편집

다음이 주어졌다고 하자.

  • 스킴  
  •   위의 준연접층  
  • 자연수  

그렇다면 임의의   위의 스킴  에 대하여,  -가군층

 

을 정의할 수 있다. 그 몫가군층들 가운데, 계수  국소 자유 가군층인 것들의 집합

 

라고 하자. 이는 함자

 

를 정의한다. 이 함자는 표현 가능 함자이며, 그 표현은 분리  -스킴  으로 잡을 수 있다. 이를 그라스만 스킴이라고 한다.

표현 가능 함자의 정의에 따라서 표준적인 스킴 동형

 

이 존재한다.

 이며  인 경우, 그라스만 스킴  사영 공간  과 같다.

고전적 경우편집

고전적인 경우는 어떤 체  에 대하여  이며    위의 선형 공간  에 의하여 주어질 때이다. 즉,   인 경우이다. 이 경우, 그라스만 스킴   -점들은   속의  차원 부분 선형 공간들과 일대일 대응한다. 특히,

  •  가 유한 차원 실수 선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 매끄러운 다양체의 구조를 가진다.
  •  가 유한 차원 복소수 선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은 콤팩트 복소다양체의 구조를 가진다.
  •  대수적으로 닫힌 체이며,  가 유한 차원  -선형 공간일 경우, 그라스만 스킴은   위의 비특이 사영 대수다양체의 구조를 가진다. 이 경우, 사영 공간으로의 매장은 플뤼커 매장으로 주어진다.

성질편집

스킴 이론적 성질편집

임의의 스킴   위의 준연접층   및 자연수  에 대하여, 그라스만 스킴  의 구조 사상

 

분리 사상이다. 만약  가 추가로 유한 생성 가군층이라면, 이는 사영 사상이다.

임의의 스킴 사상  에 대하여, 스킴의 표준적 동형 사상

 

이 존재한다. 특히, 임의의 점  에 대하여, 표준적 스킴 사상

 

를 통하여 동형 사상

 

이 존재한다. 여기서   에서  국소 가환환  의 (스스로의 유일한 극대 아이디얼에 대한) 잉여류체이다. 이 동형에서 우변은 (무한 차원일 수 있는)  -선형 공간의 그라스만 다양체이므로, 일반적 그라스만 스킴은 고전적 그라스만 다양체들의 족(族)으로 여길 수 있다.

쌍대성편집

다음이 주어졌다고 하자.

  •  
  • 유한 차원  -선형 공간  
  • 자연수  

그렇다면, 다음과 같은 표준적인 동형 사상이 존재한다.

 
 

여기서  쌍대 공간이다.

플뤼커 매장편집

고전적인 경우편집

 가 주어졌다고 하자. 그렇다면, 그 스펙트럼  한원소 공간이며, 그 위의 가군층  위의 선형 공간이다. 또한, 모든 가군층이 준연접층이 된다. (그 가운데 연접층인 것은 유한 차원 선형 공간이다.)

따라서,   위의 (유한 또는 무한 차원) 선형 공간  자연수  가 주어졌을 때, 그라스만 다양체

 

를 정의할 수 있다.

이는   위의 외대수

 

위의 사영 공간

 

닫힌 부분 스킴이며, 이를 정의하는 매장을 플뤼커 매장(영어: Plücker embedding)이라고 한다. 구체적으로, 이는 다음과 같다.

 
 

여기서 우변은  동차 좌표이다.

플뤼커 매장은 다음과 같은 플뤼커 방정식을 만족시킨다.  의 임의의 두  차원 부분 선형 공간

 
 

및 임의의 음이 아닌 정수  에 대하여,

 

이는 2차 동차 다항식이다. 표수가 0인 경우, 그라스만 다양체는 플뤼커 방정식만으로 완전히 정의된다.

일반적 플뤼커 매장편집

임의의 스킴   위의 준연접층   및 자연수  스킴 사상  가 주어졌다고 하자. 또한,   위의 가군층  의 몫

 

에서   계수 국소 자유 가군층이라고 하자. 그렇다면, 연접층의 함자성에 의하여, 외대수 연접층의 사상

 

이 존재한다.

그라스만 스킴의 정의에 따라,  집합  의 원소에 대응한다. 또한,  는 계수 1의 국소 자유 가군층이므로, 어떤 스킴 사상

 

에 대응한다.

즉, 위 구성은 함수

 

를 정의한다. 이는 자연 변환

 

을 이루며, 이는 요네다 보조정리에 따라서 스킴 사상

 

을 정의한다. 이를  플뤼커 사상이라고 한다.[1]:§9.8

위상수학적 성질편집

만약    또는  이며  가 계수  연접층(유한 차원 선형 공간)이라면, 그라스만 다양체   은 (유한 차원) 매끄러운 다양체를 이루며, 따라서 그 대수적 위상수학을 연구할 수 있다.

 의 (정수 계수) 특이 코호몰로지

 

를 생각하자. 오직 짝수 등급 코호몰로지만이 자명하지 않으며, 따라서 이는 가환환을 이룬다.

  위에는  차원 복소수 벡터 다발인 보편 다발  가 존재한다. 그 (총) 천 특성류

 

라고 하자. 마찬가지로,  에 임의의 내적 공간 구조를 부여하면, 각 올의 직교 여공간으로 구성되는  차원 복소수 벡터 다발  가 존재하며, 그 (총) 천 특성류

 

라고 하자.

정의에 따라,   차원의 자명한 복소수 벡터 다발이다. 따라서 그 천 특성류는 0이며, 천 특성류의 함자성으로 인하여

 

이 된다.

복소수 그라스만 다양체의 코호몰로지 환은

 

로부터 생성되며, 그 위의 유일한 관계는  인 것이다.

편집

표수 0에서, 사영 공간이 아닌 가장 간단한 그라스만 다양체  를 생각해 보자. 이 경우, 그라스만 다양체는  차원 사영 공간 속에서, 플뤼커 방정식

 

을 통해 정의된다. 여기서  는 5차원 사영 공간의 동차 좌표이다.

참고 문헌편집

  1. Grothendieck, Alexandre; Dieudonné, Jean (1971). 《Éléments de géométrie algébrique: I. Le langage des schémas》. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften (프랑스어) 166 2판. Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-05113-8. 

외부 링크편집